Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

Passaggio 1

Trova il vertice del valore assoluto. In questo caso, il vertice di $y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ è $(2, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare la coordinata $x$ del vertice, imposta l'interno del valore assoluto $\frac{x - 2}{x + 2}$ in modo che sia uguale a $0$ . In questo caso, $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ per trovare la coordinata $x$ per il vertice del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

Passaggio 1.4

Semplifica $| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $(2) - 2$ e $(2) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

Passaggio 1.4.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

Passaggio 1.4.1.4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

Passaggio 1.4.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 (1)$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Passaggio 1.4.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Passaggio 1.4.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

Passaggio 1.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$y = | \frac{0}{2} |$

Passaggio 1.4.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$y = | 0 |$

Passaggio 1.4.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.5

Il vertice del valore assoluto è $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Passaggio 2

Trova il dominio per $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ in modo che una lista di valori $x$ possa essere scelta per trovare una lista di punti, che aiuterà nel realizzare una rappresentazione grafica della funzione del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 2}{x + 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Passaggio 3

Per ogni valore $x$ c'è un valore $y$ . Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del vertice del valore assoluto.

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Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . In questo caso, il punto è $(0, 1)$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $(0) - 2$ e $(0) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

Passaggio 3.1.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

Passaggio 3.1.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

Passaggio 3.1.2.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Passaggio 3.1.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Passaggio 3.1.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $0 - 1$ e $0 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

Passaggio 3.1.2.2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

Passaggio 3.1.2.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Passaggio 3.1.2.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Passaggio 3.1.2.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f (0) = | - 1 |$

Passaggio 3.1.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . In questo caso, il punto è $(1, \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

Passaggio 3.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

Passaggio 3.2.2.4

$- \frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $- 0.\overline{3}$ , che è un valore negativo, perciò rendi negativo $- \frac{1}{3}$ ed elimina il valore assoluto

$f (1) = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.5

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $3$ di $x$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . In questo caso, il punto è $(3, \frac{1}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

Passaggio 3.3.2.3

$\frac{1}{5}$ corrisponde approssimativamente a $0.2$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$f (3) = \frac{1}{5}$

Passaggio 3.3.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $4$ di $x$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . In questo caso, il punto è $(4, \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $(4) - 2$ e $(4) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

Passaggio 3.4.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

Passaggio 3.4.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

Passaggio 3.4.2.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

Passaggio 3.4.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

Passaggio 3.4.2.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2 + 2 (1)$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Passaggio 3.4.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Passaggio 3.4.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

Passaggio 3.4.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

Passaggio 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$f (4) = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

Passaggio 4