Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ in modo che una lista di valori $x$ possa essere scelta per trovare una lista di punti, che aiuterà nel realizzare una rappresentazione grafica della funzione del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x - 1 | = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Passaggio 1.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1}$

Passaggio 2

Per ogni valore $x$ c'è un valore $y$ . Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del vertice del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 1)}{| (- 2) - 1 |}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 1)}{| - 2 - 1 |}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 2 - 1 |}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 3 |}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{3}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 2) = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Dividi $3$ per $3$ .

$f (- 2) = 1$

Passaggio 2.1.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 2.2

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{((- 1) + 1) ((- 1) - 1)}{| (- 1) - 1 |}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{0 (- 1 - 1)}{| - 1 - 1 |}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 1 - 1 |}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 2 |}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.3

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . In questo caso, il punto è $(0, - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{((0) + 1) ((0) - 1)}{| (0) - 1 |}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.1.4

Eleva $0 - 1$ alla potenza di $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.1.5

Eleva $0 - 1$ alla potenza di $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| 0 - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| - 1 |}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{1}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 {(- 1)}^{2}}{1}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.4.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f (0) = - 1$

Passaggio 2.3.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . In questo caso, il punto è $(2, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{((2) + 1) ((2) - 1)}{| (2) - 1 |}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Somma $2$ e $1$ .

$f (2) = \frac{3 (2 - 1)}{| 2 - 1 |}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 2 - 1 |}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (2) = \frac{3}{1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Dividi $3$ per $1$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.5

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 2, 1), (- 1, 0), (0, - 1), (2, 3)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 3