Preparazione all'algebra Esempi

$\sqrt{x} < 10$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} < 10^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 10^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} < 10^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x < 10^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x < 100$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\sqrt{x} - 10$ .

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Passaggio 3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 4

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 100$

$x > 100$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{- 2} < 10$

Passaggio 5.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 100$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 100$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{2} < 10$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $1.41421356$ è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 100$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 100$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 102$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $102$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{102} < 10$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $10.09950493$ non è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 100$ Vero

$x > 100$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 100$ Vero

$x > 100$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 100$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < 100$

Notazione degli intervalli:

$(0, 100)$

Passaggio 8