Preparazione all'algebra Esempi

$8 x^{2} + 3 y^{2} = 72$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $72$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{8 x^{2}}{72} + \frac{3 y^{2}}{72} = \frac{72}{72}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 2 \sqrt{6}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 \cdot 6^{1} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 \cdot 6 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\sqrt{24 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{24 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{24 - 9}$

Passaggio 5.3.3.4

Sottrai $9$ da $24$ .

$\sqrt{15}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \sqrt{15})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, \sqrt{15})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\sqrt{15}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - \sqrt{15})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{24 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{24 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{24 - 9}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $9$ da $24$ .

$\frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{15}$ e $\sqrt{6}$ in un singolo radicale.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{6}}}{2}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $15$ e $6$ .

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Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (5)}{6}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{5}{2}}$ come $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 8.3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}}{2}$

Passaggio 8.3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}}{2}$

Passaggio 8.3.4.4.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{2}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{10}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Passaggio 10