Preparazione all'algebra Esempi

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per ${(- 9 x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi ${(- 9 x + 1)}^{2}$ come $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ .

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

Passaggio 1.2.1.2

Espandi $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

Passaggio 1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

Passaggio 1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 9 x$ per $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

Passaggio 1.2.1.3.2

Sottrai $9 x$ da $- 9 x$ .

$81 x^{2} - 18 x + 1$

Passaggio 1.2.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

Passaggio 1.2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 9}{81}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $81$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{9}$

Passaggio 1.2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $81$ .

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $324$ .

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Passaggio 1.2.5.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 1 - 1$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$e = 0$

Passaggio 1.2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ .

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Passaggio 1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{9}, 0)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $4$ per $81$ .

$\frac{1}{324}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{1}{9}$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{1}{324}$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{9}, 0)$

Fuoco: $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{9}$

Direttrice: $y = - \frac{1}{324}$

Passaggio 10