Preparazione all'algebra Esempi

$r = (5 + n) (150 - 10 n)$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $(5 + x) (150 - 10 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Espandi $(5 + x) (150 - 10 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (150 - 10 x) + x (150 - 10 x)$

Passaggio 1.1.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 \cdot 150 + 5 (- 10 x) + x (150 - 10 x)$

Passaggio 1.1.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 \cdot 150 + 5 (- 10 x) + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

Passaggio 1.1.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1.1

Moltiplica $5$ per $150$ .

$750 + 5 (- 10 x) + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $5$ .

$750 - 50 x + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.3

Sposta $150$ alla sinistra di $x$ .

$750 - 50 x + 150 \cdot x + x (- 10 x)$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$750 - 50 x + 150 x - 10 x \cdot x$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$750 - 50 x + 150 x - 10 (x \cdot x)$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$750 - 50 x + 150 x - 10 x^{2}$

Passaggio 1.1.1.1.2.2

Somma $- 50 x$ e $150 x$ .

$750 + 100 x - 10 x^{2}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sposta $750$ .

$100 x - 10 x^{2} + 750$

Passaggio 1.1.1.1.4

Riordina $100 x$ e $- 10 x^{2}$ .

$- 10 x^{2} + 100 x + 750$

Passaggio 1.1.1.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 10$

$b = 100$

$c = 750$

Passaggio 1.1.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 10}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 10}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 10$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 10)}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 10}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{50}{- 10}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $50$ e $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.2.1

Scomponi $10$ da $50$ .

$d = \frac{10 (5)}{- 10}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$d = - 5$

Passaggio 1.1.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 750 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 10}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Eleva $100$ alla potenza di $2$ .

$e = 750 - \frac{10000}{4 \cdot - 10}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 10$ .

$e = 750 - \frac{10000}{- 40}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3

Dividi $10000$ per $- 40$ .

$e = 750 - - 250$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 250$ .

$e = 750 + 250$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Somma $750$ e $250$ .

$e = 1000$

Passaggio 1.1.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$ .

$- 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 10$

$h = 5$

$k = 1000$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(5, 1000)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 10}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

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Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 10$ .

$\frac{1}{- 40}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{40}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5, \frac{39999}{40})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 5$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{40001}{40}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(5, 1000)$

Fuoco: $(5, \frac{39999}{40})$

Asse di simmetria: $x = 5$

Direttrice: $y = \frac{40001}{40}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(5, 1000)$

Fuoco: $(5, \frac{39999}{40})$

Asse di simmetria: $x = 5$

Direttrice: $y = \frac{40001}{40}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = (5 + 4) (150 - 10 \cdot 4)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (4) = (5 + 4) (150 - 10 \cdot 4)$

Passaggio 2.2.2

Somma $5$ e $4$ .

$f (4) = 9 (150 - 10 \cdot 4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 10$ per $4$ .

$f (4) = 9 (150 - 40)$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $40$ da $150$ .

$f (4) = 9 \cdot 110$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $9$ per $110$ .

$f (4) = 990$

Passaggio 2.2.6

La risposta finale è $990$ .

$990$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 4$ è $990$ .

$y = 990$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = (5 + 6) (150 - 10 \cdot 6)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$f (6) = (5 + 6) (150 - 10 \cdot 6)$

Passaggio 2.5.2

Somma $5$ e $6$ .

$f (6) = 11 (150 - 10 \cdot 6)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 10$ per $6$ .

$f (6) = 11 (150 - 60)$

Passaggio 2.5.4

Sottrai $60$ da $150$ .

$f (6) = 11 \cdot 90$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $11$ per $90$ .

$f (6) = 990$

Passaggio 2.5.6

La risposta finale è $990$ .

$990$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 6$ è $990$ .

$y = 990$

Passaggio 2.7

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 990 \\ 5 & 1000 \\ 6 & 990 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(5, 1000)$

Fuoco: $(5, \frac{39999}{40})$

Asse di simmetria: $x = 5$

Direttrice: $y = \frac{40001}{40}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 990 \\ 5 & 1000 \\ 6 & 990 \end{array}$

Passaggio 4