Preparazione all'algebra Esempi

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 2 y$

Passaggio 1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 2 y$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{y^{2}}{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 1 \cdot 2$

Passaggio 2.1.1.3.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{- 4}{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Dividi $4$ per $- 2$ .

$e = 0 - - 2$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$e = 0 + 2$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$e = 2$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 2$

Passaggio 2.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 2$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 2$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(2, - 2)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Dividi $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{3}{2}, - 2)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 2$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(2, - 2)$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = \frac{5}{2}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(2, - 2)$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = \frac{5}{2}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - 2 - \sqrt{- 2 (- 2 + x)}$ . In questo caso, il punto è $(0, - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 - \sqrt{- 2 (- 2 + 0)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - 2 - \sqrt{- 2 (- 2 + 0)}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$f (0) = - 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (0) = - 2 - \sqrt{4}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (0) = - 2 - \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = - 2 - 1 \cdot 2$

Passaggio 3.1.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (0) = - 2 - 2$

Passaggio 3.1.2.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f (0) = - 4$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 3.1.3

Converti $- 4$ in decimale.

$= - 4$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - 2 + \sqrt{- 2 (- 2 + x)}$ . In questo caso, il punto è $(0, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 + \sqrt{- 2 (- 2 + 0)}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - 2 + \sqrt{- 2 (- 2 + 0)}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$f (0) = - 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (0) = - 2 + \sqrt{4}$

Passaggio 3.2.2.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (0) = - 2 + \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = - 2 + 2$

Passaggio 3.2.2.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.2.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 3.2.3

Converti $0$ in decimale.

$= 0$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - 2 - \sqrt{- 2 (- 2 + x)}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 3.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 2 - \sqrt{- 2 (- 2 + 1)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = - 2 - \sqrt{- 2 (- 2 + 1)}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (1) = - 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (1) = - 2 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 2 - \sqrt{2}$ .

$y = - 2 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.3

Converti $- 2 - \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 3.41421356$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - 2 + \sqrt{- 2 (- 2 + x)}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 0.58578643)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 2 + \sqrt{- 2 (- 2 + 1)}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = - 2 + \sqrt{- 2 (- 2 + 1)}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (1) = - 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (1) = - 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $- 2 + \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.3

Converti $- 2 + \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 0.58578643$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 3.41 \\ 1 & - 0.59 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(2, - 2)$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 3.41 \\ 1 & - 0.59 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Passaggio 5