Preparazione all'algebra Esempi

$x = - 2 y^{2} - 8 y - 14$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $- 2 y^{2} - 8 y - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = - 14$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 14 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{- 8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi $64$ per $- 8$ .

$e = - 14 - - 8$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$e = - 14 + 8$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Somma $- 14$ e $8$ .

$e = - 6$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$ .

$- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Passaggio 1.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = - 6$

$k = - 2$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 6, - 2)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{49}{8}, - 2)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 2$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{47}{8}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 6, - 2)$

Fuoco: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = - \frac{47}{8}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 6, - 2)$

Fuoco: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = - \frac{47}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il valore $- 8$ di $x$ in $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 8, - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Somma $- 6$ e $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{4}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 8) = - \frac{4 + 2}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.6

Somma $4$ e $2$ .

$f (- 8) = - \frac{6}{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Dividi $6$ per $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- 8) = - 3$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 2.1.3

Converti $- 3$ in decimale.

$= - 3$

Passaggio 2.2

Sostituisci il valore $- 8$ di $x$ in $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 8, - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Somma $- 6$ e $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{4}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 8) = - \frac{4 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.7

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 8) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- 8) = - 1$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 2.2.3

Converti $- 1$ in decimale.

$= - 1$

Passaggio 2.3

Sostituisci il valore $- 7$ di $x$ in $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 7, - 2.70710678)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Somma $- 6$ e $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

La risposta finale è $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.3

Converti $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= - 2.70710678$

Passaggio 2.4

Sostituisci il valore $- 7$ di $x$ in $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 7, - 1.29289321)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Somma $- 6$ e $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

La risposta finale è $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.3

Converti $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= - 1.29289321$

Passaggio 2.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 6, - 2)$

Fuoco: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = - \frac{47}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Passaggio 4