Preparazione all'algebra Esempi

$x = 5 y^{2} - 4 y - 2$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $5 y^{2} - 4 y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 5$

$b = - 4$

$c = - 2$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (5)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{2}{5}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - 2 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = - 2 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 5$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 (5)}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - 2 - \frac{4}{5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$- 2$ e $\frac{5}{5}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 2 \cdot 5 - 4}{5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$e = \frac{- 10 - 4}{5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5.2

Sottrai $4$ da $- 10$ .

$e = \frac{- 14}{5}$

Passaggio 1.1.1.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{14}{5}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$ .

$5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = 5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 5$

$h = - \frac{14}{5}$

$k = \frac{2}{5}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{1}{20}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = \frac{2}{5}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{57}{20}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Fuoco: $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Asse di simmetria: $y = \frac{2}{5}$

Direttrice: $x = - \frac{57}{20}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Fuoco: $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Asse di simmetria: $y = \frac{2}{5}$

Direttrice: $x = - \frac{57}{20}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci il valore $- 1.8$ di $x$ in $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 1.7\overline{9}, \frac{2 + \sqrt{5}}{5})$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.8$ nell'espressione.

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 1.8)}}{5}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1.8$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 + 9)}}{5}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Somma $- 14$ e $9$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 5}}{5}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{2 + \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il valore $- 1.8$ di $x$ in $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 1.7\overline{9}, \frac{2 - \sqrt{5}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.8$ nell'espressione.

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 1.8)}}{5}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1.8$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 + 9)}}{5}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Somma $- 14$ e $9$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 5}}{5}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.2.2.2

La risposta finale è $\frac{2 - \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.3

Sostituisci il valore $- 0.8$ di $x$ in $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 0.7\overline{9}, \frac{2 + \sqrt{10}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.8$ nell'espressione.

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 0.8)}}{5}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $- 0.8$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 + 4)}}{5}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Somma $- 14$ e $4$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 10}}{5}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.3.2.2

La risposta finale è $\frac{2 + \sqrt{10}}{5}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.4

Sostituisci il valore $- 0.8$ di $x$ in $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 0.7\overline{9}, \frac{2 - \sqrt{10}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.8$ nell'espressione.

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 0.8)}}{5}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $- 0.8$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 + 4)}}{5}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Somma $- 14$ e $4$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 10}}{5}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.4.2.2

La risposta finale è $\frac{2 - \sqrt{10}}{5}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} \\ - 1.8 & 0.85 \\ - 1.8 & - 0.05 \\ - 0.8 & 1.03 \\ - 0.8 & - 0.23 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Fuoco: $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Asse di simmetria: $y = \frac{2}{5}$

Direttrice: $x = - \frac{57}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} \\ - 1.8 & 0.85 \\ - 1.8 & - 0.05 \\ - 0.8 & 1.03 \\ - 0.8 & - 0.23 \end{array}$

Passaggio 4