Preparazione all'algebra Esempi

$- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$

Passaggio 1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 8 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 (1)} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 y}{1} + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3.1.2.2.4

Dividi $2 y$ per $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 2 y + \frac{40}{- 4}$

Passaggio 1.3.1.3

Dividi $40$ per $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 2 y - 10$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{y^{2}}{4} + 2 y - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = - 10$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - (1 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.1.3.2.4

Moltiplica $- (1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.4.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.1.1.3.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$d = - 4$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 10 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 10 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 10 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 10 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$e = - 10 - \frac{4}{- 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Dividi $4$ per $- 1$ .

$e = - 10 - - 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = - 10 + 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Somma $- 10$ e $4$ .

$e = - 6$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 6$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 6$

Passaggio 2.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 6$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 6$

$k = 4$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 6, 4)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Dividi $4$ per $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 2.5.3.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 2.5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 7, 4)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 4$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 5$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 6, 4)$

Fuoco: $(- 7, 4)$

Asse di simmetria: $y = 4$

Direttrice: $x = - 5$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 6, 4)$

Fuoco: $(- 7, 4)$

Asse di simmetria: $y = 4$

Direttrice: $x = - 5$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $- 8$ di $x$ in $f (x) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - x}$ . In questo caso, il punto è $(- 8, 6.82842712)$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - (- 8)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{- 6 + 8}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Somma $- 6$ e $8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $4 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 4 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.1.3

Converti $4 + 2 \sqrt{2}$ in decimale.

$= 6.82842712$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $- 8$ di $x$ in $f (x) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - x}$ . In questo caso, il punto è $(- 8, 1.17157287)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - (- 8)}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{- 6 + 8}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 6$ e $8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.2.2

La risposta finale è $4 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 4 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.3

Converti $4 - 2 \sqrt{2}$ in decimale.

$= 1.17157287$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $- 7$ di $x$ in $f (x) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - x}$ . In questo caso, il punto è $(- 7, 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - (- 7)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{- 6 + 7}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Somma $- 6$ e $7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 7) = 4 + 2$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$f (- 7) = 6$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 3.3.3

Converti $6$ in decimale.

$= 6$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $- 7$ di $x$ in $f (x) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - x}$ . In questo caso, il punto è $(- 7, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - (- 7)}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{- 6 + 7}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $- 6$ e $7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{1}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 7) = 4 - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (- 7) = 2$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 3.4.3

Converti $2$ in decimale.

$= 2$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 6.83 \\ - 8 & 1.17 \\ - 7 & 6 \\ - 7 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 6, 4)$

Fuoco: $(- 7, 4)$

Asse di simmetria: $y = 4$

Direttrice: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 6.83 \\ - 8 & 1.17 \\ - 7 & 6 \\ - 7 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Passaggio 5