Preparazione all'algebra Esempi

$4 x^{2} - 4 x + 21$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 4 x + 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 21$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 21 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 21 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 21 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 21 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 21 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 21 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 4$ .

$e = 21 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 21 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 21 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e = 21 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 21 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 21 - 1$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai $1$ da $21$ .

$e = 20$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 4$

$h = \frac{1}{2}$

$k = 20$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, 20)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{16}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{2}, \frac{321}{16})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{319}{16}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{2}, 20)$

Fuoco: $(\frac{1}{2}, \frac{321}{16})$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = \frac{319}{16}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{2}, 20)$

Fuoco: $(\frac{1}{2}, \frac{321}{16})$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = \frac{319}{16}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 + 21$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 + 21$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (- 1) = 4 - 4 \cdot - 1 + 21$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 4 + 4 + 21$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $4$ e $4$ .

$f (- 1) = 8 + 21$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $8$ e $21$ .

$f (- 1) = 29$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $29$ .

$29$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $29$ .

$y = 29$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 21$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 2 + 21$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (- 2) = 16 - 4 \cdot - 2 + 21$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 16 + 8 + 21$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $16$ e $8$ .

$f (- 2) = 24 + 21$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $24$ e $21$ .

$f (- 2) = 45$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $45$ .

$45$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $45$ .

$y = 45$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 4 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 21$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 4 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 21$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 4 \cdot 1 + 21$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 4 + 21$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (1) = 0 + 21$

Passaggio 2.8.2.2

Somma $0$ e $21$ .

$f (1) = 21$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $21$ .

$21$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $21$ .

$y = 21$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 21$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 21$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 4 \cdot 2 + 21$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (2) = 16 - 8 + 21$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $8$ da $16$ .

$f (2) = 8 + 21$

Passaggio 2.11.2.2

Somma $8$ e $21$ .

$f (2) = 29$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $29$ .

$29$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $29$ .

$y = 29$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 45 \\ - 1 & 29 \\ \frac{1}{2} & 20 \\ 1 & 21 \\ 2 & 29 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{2}, 20)$

Fuoco: $(\frac{1}{2}, \frac{321}{16})$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = \frac{319}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 45 \\ - 1 & 29 \\ \frac{1}{2} & 20 \\ 1 & 21 \\ 2 & 29 \end{array}$

Passaggio 4