Preparazione all'algebra Esempi

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y - 107 = 0$

Passaggio 1

Somma $107$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y = 107$

Passaggio 2

Dividi entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Passaggio 3

Completa il quadrato per $x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Passaggio 3.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 3.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Dividi $36$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Passaggio 3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 0 - 9$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$e = - 9$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Passaggio 4

Sostituisci $x^{2} - 6 x$ con ${(x - 3)}^{2} - 9$ nell'equazione $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Passaggio 5

Sposta $- 9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + y = \frac{107}{4} + 9$

Passaggio 6

Completa il quadrato per $y^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Passaggio 6.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 6.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{2} + y$ con ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ nell'equazione $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{107}{4} + 9$

Passaggio 8

Sposta $- \frac{1}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$

Passaggio 9

Semplifica $\frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{107 + 1}{4}$

Passaggio 9.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $107$ e $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{108}{4}$

Passaggio 9.2.2

Dividi $108$ per $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + 27$

Passaggio 9.2.3

Somma $9$ e $27$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 36$

Passaggio 10

Questa è la forma di un cerchio. Usa la forma per determinare il centro e il raggio del cerchio.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 11

Abbina i valori di questo cerchio a quelli della forma standard. La variabile $r$ rappresenta il raggio del cerchio, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$r = 6$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Il centro di un cerchio si trova a $(h, k)$ .

Centro: $(3, - \frac{1}{2})$

Passaggio 13

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un cerchio.

Centro: $(3, - \frac{1}{2})$

Raggio: $6$

Passaggio 14