Preparazione all'algebra Esempi

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $81$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Passaggio 5.3.6

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.7

$- 9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Passaggio 5.3.9.2

Sottrai $36$ da $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Passaggio 5.3.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{45}{4}}$ come $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.11.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.11.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.12.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.8

$- 9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.10.1

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.10.2

Sottrai $36$ da $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.11

Riscrivi $\sqrt{\frac{45}{4}}$ come $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.12.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.12.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.14.1.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Passaggio 8.3.14.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.14.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.14.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.14.3

$\sqrt{5}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 10