Preparazione all'algebra Esempi

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 100$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $100$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 x^{2}}{100} + \frac{9 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{100}{9}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 5$

$b = \frac{10}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{10}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{10}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{10}{3}$ .

$\sqrt{25 - \frac{10^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{100}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{100}{9}}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{100}{9}}$

Passaggio 5.3.6

$25$ e $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{100}{9}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 100}{9}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $25$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{225 - 100}{9}}$

Passaggio 5.3.8.2

Sottrai $100$ da $225$ .

$\sqrt{\frac{125}{9}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{125}{9}}$ come $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{\sqrt{25 (5)}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 5.3.10.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 5.3.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + 5, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(5, 0)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (5), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 5, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{5 \sqrt{5}}{3}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{10}{3})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{10}{3})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{10}{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{10^{2}}{3^{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{100}{3^{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{100}{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.5

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{100}{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.6

$25$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{100}{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 100}{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.8.1

Moltiplica $25$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{\frac{225 - 100}{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.8.2

Sottrai $100$ da $225$ .

$\frac{\sqrt{\frac{125}{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{125}{9}}$ come $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{\frac{\sqrt{25 (5)}}{\sqrt{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.10.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{\sqrt{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{9}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.11.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\frac{5 \sqrt{5}}{3}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 8.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 10