Preparazione all'algebra Esempi

$4 x + y^{2} = 25$

Passaggio 1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 25 - y^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 25 - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 25 - y^{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{4}$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riordina $\frac{25}{4}$ e $- \frac{y^{2}}{4}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$

Passaggio 3.1.2

Completa il quadrato per $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = \frac{25}{4}$

Passaggio 3.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 3.1.2.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 3.1.2.3.2.3

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Passaggio 3.1.2.3.2.3.2

Moltiplica $0$ per $- 4$ .

$d = 0$

Passaggio 3.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.4

Dividi $0$ per $- 1$ .

$e = \frac{25}{4} - 0$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = \frac{25}{4} + 0$

Passaggio 3.1.2.4.2.2

Somma $\frac{25}{4}$ e $0$ .

$e = \frac{25}{4}$

Passaggio 3.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

Passaggio 3.1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

Passaggio 3.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{25}{4}$

$k = 0$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{25}{4}, 0)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 3.5.3.3

Dividi $4$ per $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 3.5.3.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 3.5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{21}{4}, 0)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 0$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{29}{4}$

Passaggio 3.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(\frac{25}{4}, 0)$

Fuoco: $(\frac{21}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{29}{4}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(\frac{25}{4}, 0)$

Fuoco: $(\frac{21}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{29}{4}$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $4.25$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ . In questo caso, il punto è $(4.25, \sqrt{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.25$ nell'espressione.

$f (4.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4.25$ .

$f (4.25) = \sqrt{25 - 17}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $17$ da $25$ .

$f (4.25) = \sqrt{8}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\sqrt{8}$ .

$y = \sqrt{8}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $4.25$ di $x$ in $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ . In questo caso, il punto è $(4.25, - \sqrt{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.25$ nell'espressione.

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4.25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 17}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $17$ da $25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{8}$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{8}$ .

$y = - \sqrt{8}$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $5.25$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ . In questo caso, il punto è $(5.25, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5.25$ nell'espressione.

$f (5.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5.25$ .

$f (5.25) = \sqrt{25 - 21}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $21$ da $25$ .

$f (5.25) = \sqrt{4}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (5.25) = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (5.25) = 2$

Passaggio 4.3.2.5

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $5.25$ di $x$ in $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ . In questo caso, il punto è $(5.25, - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5.25$ nell'espressione.

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5.25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 21}$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $21$ da $25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{4}$

Passaggio 4.4.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (5.25) = - \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.4.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (5.25) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.4.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (5.25) = - 2$

Passaggio 4.4.2.6

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(\frac{25}{4}, 0)$

Fuoco: $(\frac{21}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

Passaggio 6