Preparazione all'algebra Esempi

$49 x^{2} + 25 y^{2} = 1225$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $1225$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{49 x^{2}}{1225} + \frac{25 y^{2}}{1225} = \frac{1225}{1225}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 7$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - 1 \cdot 25}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\sqrt{49 - 25}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $25$ da $49$ .

$\sqrt{24}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{6}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 7)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 7)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (7))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 7)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 5^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 25}}{7}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{\sqrt{49 - 25}}{7}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $25$ da $49$ .

$\frac{\sqrt{24}}{7}$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

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Passaggio 8.3.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{7}$

Passaggio 8.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{7}$

Passaggio 8.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Eccentricità: $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Passaggio 10