Preparazione all'algebra Esempi

$5 x^{2} + 2 y^{2} = 100$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $100$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{5 x^{2}}{100} + \frac{2 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{50} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 5 \sqrt{2}$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- (4 \cdot 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\sqrt{50 - 1 \cdot 20}$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$\sqrt{50 - 20}$

Passaggio 5.3.6

Sottrai $20$ da $50$ .

$\sqrt{30}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 5 \sqrt{2})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 5 \sqrt{2})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (5 \sqrt{2}))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 5 \sqrt{2})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \sqrt{30})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, \sqrt{30})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\sqrt{30}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - \sqrt{30})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.8

Moltiplica $- (4 \cdot 5)$ .

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Passaggio 8.3.1.8.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{50 - 1 \cdot 20}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$\frac{\sqrt{50 - 20}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.9

Sottrai $20$ da $50$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{30}$ e $\sqrt{2}$ in un singolo radicale.

$\frac{\sqrt{\frac{30}{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $30$ e $2$ .

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Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 (1)}}}{5}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1}}}{5}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{1}}}{5}$

Passaggio 8.3.3.2.4

Dividi $15$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 10