Preparazione all'algebra Esempi

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

Passaggio 1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 12$

Passaggio 2

Dividi entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$

Passaggio 3

Completa il quadrato per $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 0$

Passaggio 3.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.6

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 3.4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 3.4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 3.4.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{9}$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $\frac{4}{9}$ da $0$ .

$e = - \frac{4}{9}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

Passaggio 4

Sostituisci $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ con ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} + y^{2} + 2 y = 4$

Passaggio 5

Sposta $- \frac{4}{9}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{4}{9}$ a entrambi i lati.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + y^{2} + 2 y = 4 + \frac{4}{9}$

Passaggio 6

Completa il quadrato per $y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 6.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 6.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 6.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{2} + 2 y$ con ${(y + 1)}^{2} - 1$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 4 + \frac{4}{9}$

Passaggio 8

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 + \frac{4}{9} + 1$

Passaggio 9

Semplifica $4 + \frac{4}{9} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} + \frac{4}{9} + 1$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Passaggio 9.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9}$

Passaggio 9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9 + 4 + 9}{9}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{36 + 4 + 9}{9}$

Passaggio 9.3.2

Somma $36$ e $4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{40 + 9}{9}$

Passaggio 9.3.3

Somma $40$ e $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{49}{9}$

Passaggio 10

Questa è la forma di un cerchio. Usa la forma per determinare il centro e il raggio del cerchio.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 11

Abbina i valori di questo cerchio a quelli della forma standard. La variabile $r$ rappresenta il raggio del cerchio, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$r = \frac{7}{3}$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - 1$

Passaggio 12

Il centro di un cerchio si trova a $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Passaggio 13

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un cerchio.

Centro: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Raggio: $\frac{7}{3}$

Passaggio 14