Preparazione all'algebra Esempi

$x^{2} - y^{2} = 21$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

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Passaggio 1.1

Dividi per $21$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = \frac{21}{21}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \sqrt{21}$

$b = \sqrt{21}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{21^{1} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{21 + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{21 + 21^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{21 + 21}$

Passaggio 5.3.3

Somma $21$ e $21$ .

$\sqrt{42}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{21}, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{21}, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{42}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{42}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{21^{1} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{21 + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{21 + 21^{1}}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{21 + 21}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma $21$ e $21$ .

$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{21}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{42}$ e $\sqrt{21}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{42}{21}}$

Passaggio 8.3.3

Dividi $42$ per $21$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

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Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi ${\sqrt{21}}^{2}$ come $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{21}$ come $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{21^{1}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{21}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{21}{\sqrt{42}}$ per $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{21}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{21}{\sqrt{42}}$ per $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{42}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} \sqrt{42}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{42}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} {\sqrt{42}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{42}}^{2}$ come $42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{42}$ come $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $21$ e $42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $21$ da $21 \sqrt{42}$ .

$\frac{21 (\sqrt{42})}{42}$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi $21$ da $42$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{42}}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $1 \cdot x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $1 \cdot x$ e $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Passaggio 11.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = x$

Passaggio 12

Semplifica $- 1 \cdot x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- 1 \cdot x$ e $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Passaggio 12.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = x, y = - x$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

Fuochi: $(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

Eccentricità: $\sqrt{2}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Asintoti: $y = x$ , $y = - x$

Passaggio 15