Preparazione all'algebra Esempi

$\sqrt{64 - 49 x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{64 - 49 x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$8 + 7 x = 0$

$8 - 7 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $8 + 7 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Imposta $8 + 7 x$ uguale a $0$ .

$8 + 7 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Risolvi $8 + 7 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = - 8$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 8$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Passaggio 1.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Passaggio 1.2.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{7}$

Passaggio 1.2.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{8}{7}$

Passaggio 1.2.3

Imposta $8 - 7 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $8 - 7 x$ uguale a $0$ .

$8 - 7 x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $8 - 7 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 x = - 8$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = - 8$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 7}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{8}{7}$

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$ vera.

$x = - \frac{8}{7}, \frac{8}{7}$

Passaggio 1.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{8}{7}$

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$

$x > \frac{8}{7}$

Passaggio 1.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{8}{7}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{8}{7}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$(8 + 7 (- 4)) (8 - 7 \cdot - 4) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 720$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(8 + 7 (0)) (8 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Il lato sinistro di $64$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{8}{7}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{8}{7}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(8 + 7 (4)) (8 - 7 \cdot 4) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 720$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{8}{7}$ Falso

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Vero

$x > \frac{8}{7}$ Falso

$x < - \frac{8}{7}$ Falso

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Vero

$x > \frac{8}{7}$ Falso

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Notazione intensiva:

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Notazione intensiva:

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = \sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{8}{7}$ nell'espressione.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (- \frac{8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{7}$ nel numeratore.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 - 8) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{7}$ nel numeratore.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (\frac{- 8}{7}))}$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 (- 1) (\frac{- 8}{7}))}$

Passaggio 2.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{- 8}{7})))}$

Passaggio 2.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 1 \cdot - 8)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 8)}$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $8$ e $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 \cdot 16}$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $0$ per $16$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.4.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.4.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{8}{7}) = 0$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{8}{7}$ nell'espressione.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 8) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.4.2

Somma $8$ e $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.4.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 (- 1) (\frac{8}{7}))}$

Passaggio 2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{8}{7})))}$

Passaggio 2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 8)}$

Passaggio 2.4.4.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.4.3

Moltiplica $16$ per $0$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.4.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.4.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{8}{7}) = 0$

Passaggio 2.4.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$ .

$(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$

Passaggio 4

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{8}{7} & 0 \\ \frac{8}{7} & 0 \end{array}$

Passaggio 5