Preparazione all'algebra Esempi

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Passaggio 1

Aggiungi $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ .

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $x (x - 1)$ .

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi in modo che $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Passaggio 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Passaggio 6

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ come ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.5.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.5.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.6.1

Sposta $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $x^{3}$ da $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Passaggio 7.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 7.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica per $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.3.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 7.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 7.5

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.5.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.5.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 7.5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.6

Imposta $x^{2} - 3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Imposta $x^{2} - 3 x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 7.6.2

Risolvi $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 7.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 8.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Notazione degli intervalli:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Passaggio 11