Preparazione all'algebra Esempi

$- \frac{2}{3} x^{2} + 8 x - 24$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

$x^{2}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 2}{3} + 8 x - 24$

Passaggio 1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = - \frac{2 x^{2}}{3} + 8 x - 24$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{2 x^{2}}{3} + 8 x - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$b = 8$

$c = - 24$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 4 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$d = 4 (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 2.1.1.3.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = 2 (2) \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$d = 2 \cdot 2 \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$d = 2 \cdot - 3$

Passaggio 2.1.1.3.2.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$d = - 6$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{8^{2}}{4 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$e = - 24 - \frac{64}{4 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 24 - \frac{64}{- 4 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$e = - 24 - \frac{64}{\frac{- 4 \cdot 2}{3}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$e = - 24 - \frac{64}{\frac{- 8}{3}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - 24 - \frac{64}{- \frac{8}{3}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - 24 - (64 (- \frac{3}{8}))$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{8}$ nel numeratore.

$e = - 24 - (64 (\frac{- 3}{8}))$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.2

Scomponi $8$ da $64$ .

$e = - 24 - (8 (8) \frac{- 3}{8})$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$e = - 24 - (8 \cdot 8 \frac{- 3}{8})$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$e = - 24 - (8 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.7

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$e = - 24 - - 24$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$e = - 24 + 24$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Somma $- 24$ e $24$ .

$e = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{2}{3} {(x - 6)}^{2} + 0$ .

$- \frac{2}{3} {(x - 6)}^{2} + 0$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{2} + 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$h = 6$

$k = 0$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(6, 0)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 2.5.3.2

$4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{\frac{8}{3}}$

Passaggio 2.5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 (\frac{3}{8}))$

Passaggio 2.5.3.5

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $1$ .

$- \frac{3}{8}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(6, - \frac{3}{8})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 6$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{3}{8}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(6, 0)$

Fuoco: $(6, - \frac{3}{8})$

Asse di simmetria: $x = 6$

Direttrice: $y = \frac{3}{8}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(6, 0)$

Fuoco: $(6, - \frac{3}{8})$

Asse di simmetria: $x = 6$

Direttrice: $y = \frac{3}{8}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - \frac{2 {(5)}^{2}}{3} + 8 (5) - 24$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = - \frac{2 \cdot 25}{3} + 8 (5) - 24$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + 8 (5) - 24$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $8$ per $5$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + 40 - 24$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scrivi $40$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40}{1} - 24$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{40}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $\frac{40}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} - 24$

Passaggio 3.2.2.4

Scrivi $- 24$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 24}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 24}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (5) = \frac{- 50 + 40 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $40$ per $3$ .

$f (5) = \frac{- 50 + 120 - 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $- 24$ per $3$ .

$f (5) = \frac{- 50 + 120 - 72}{3}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Somma $- 50$ e $120$ .

$f (5) = \frac{70 - 72}{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $72$ da $70$ .

$f (5) = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (5) = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = 5$ è $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - \frac{2 {(4)}^{2}}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5.1.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot 2^{4}}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (4) = - \frac{2^{1 + 4}}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5.1.1.4

Somma $1$ e $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{5}}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + 8 (4) - 24$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + 32 - 24$

Passaggio 3.5.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scrivi $32$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 24$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 24$

Passaggio 3.5.2.4

Scrivi $- 24$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $\frac{- 24}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $\frac{- 24}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{- 32 + 32 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $32$ per $3$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 96 - 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $- 24$ per $3$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 96 - 72}{3}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Somma $- 32$ e $96$ .

$f (4) = \frac{64 - 72}{3}$

Passaggio 3.5.5.2

Sottrai $72$ da $64$ .

$f (4) = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 3.5.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (4) = - \frac{8}{3}$

Passaggio 3.5.6

La risposta finale è $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = 4$ è $- \frac{8}{3}$ .

$y = - \frac{8}{3}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = - \frac{2 {(9)}^{2}}{3} + 8 (9) - 24$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (9) = - \frac{2 \cdot 81}{3} + 8 (9) - 24$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $2$ per $81$ .

$f (9) = - \frac{162}{3} + 8 (9) - 24$

Passaggio 3.8.1.3

Dividi $162$ per $3$ .

$f (9) = - 1 \cdot 54 + 8 (9) - 24$

Passaggio 3.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$f (9) = - 54 + 8 (9) - 24$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $8$ per $9$ .

$f (9) = - 54 + 72 - 24$

Passaggio 3.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Somma $- 54$ e $72$ .

$f (9) = 18 - 24$

Passaggio 3.8.2.2

Sottrai $24$ da $18$ .

$f (9) = - 6$

Passaggio 3.8.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 9$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = - \frac{2 {(7)}^{2}}{3} + 8 (7) - 24$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (7) = - \frac{2 \cdot 49}{3} + 8 (7) - 24$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + 8 (7) - 24$

Passaggio 3.11.1.3

Moltiplica $8$ per $7$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + 56 - 24$

Passaggio 3.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scrivi $56$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56}{1} - 24$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $\frac{56}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Passaggio 3.11.2.3

Moltiplica $\frac{56}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} - 24$

Passaggio 3.11.2.4

Scrivi $- 24$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Passaggio 3.11.2.5

Moltiplica $\frac{- 24}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.11.2.6

Moltiplica $\frac{- 24}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (7) = \frac{- 98 + 56 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $56$ per $3$ .

$f (7) = \frac{- 98 + 168 - 24 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $- 24$ per $3$ .

$f (7) = \frac{- 98 + 168 - 72}{3}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Somma $- 98$ e $168$ .

$f (7) = \frac{70 - 72}{3}$

Passaggio 3.11.5.2

Sottrai $72$ da $70$ .

$f (7) = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.11.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (7) = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.11.6

La risposta finale è $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 7$ è $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & - \frac{8}{3} \\ 5 & - \frac{2}{3} \\ 6 & 0 \\ 7 & - \frac{2}{3} \\ 9 & - 6 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(6, 0)$

Fuoco: $(6, - \frac{3}{8})$

Asse di simmetria: $x = 6$

Direttrice: $y = \frac{3}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & - \frac{8}{3} \\ 5 & - \frac{2}{3} \\ 6 & 0 \\ 7 & - \frac{2}{3} \\ 9 & - 6 \end{array}$

Passaggio 5