Preparazione all'algebra Esempi

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $3 y^{2} - 12 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 6}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $144$ per $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$e = 0 - 12$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$e = - 12$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(y - 2)}^{2} - 12$

Passaggio 1.3

Sostituisci $3 y^{2} - 12 y$ con $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ nell'equazione $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} - 12 = - 9$

Passaggio 1.4

Sposta $- 12$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $12$ a entrambi i lati.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = - 9 + 12$

Passaggio 1.5

Somma $- 9$ e $12$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 3$

Passaggio 1.6

Dividi per $3$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \sqrt{3}$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3^{1} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + \sqrt{3}, 2)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(\sqrt{3}, 2)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\sqrt{3}), 2)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- \sqrt{3}, 2)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \sqrt{2}, 2)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(\sqrt{2}, 2)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\sqrt{2}), 2)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \sqrt{2}, 2)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3^{1} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{3 - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{3 - 1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 8.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 10