Preparazione all'algebra Esempi

$x^{2} + 18 x - 9 y - 9 = 0$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x - 9 y - 9 = - x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $18 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 y - 9 = - x^{2} - 18 x$

Passaggio 1.1.3

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 y = - x^{2} - 18 x + 9$

Passaggio 1.2

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 y = - x^{2} - 18 x + 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 y = - x^{2} - 18 x + 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- x^{2}}{- 9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- x^{2}}{- 9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 18 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 9 (2 x)}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 9 (2 x)}{- 9 (1)} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 9 (2 x)}{- 9 \cdot 1} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{2 x}{1} + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2.4

Dividi $2 x$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + 2 x + \frac{9}{- 9}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Dividi $9$ per $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + 2 x - 1$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $\frac{x^{2}}{9} + 2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{9}$

$b = 2$

$c = - 1$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{\frac{1}{9}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 1 \cdot 9$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$d = 9$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{9}$ .

$e = - 1 - \frac{4}{\frac{4}{9}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - 1 - (4 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$e = - 1 - (4 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$e = - 1 - 1 \cdot 9$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = - 1 - 9$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$e = - 10$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{9} {(x + 9)}^{2} - 10$ .

$\frac{1}{9} {(x + 9)}^{2} - 10$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{9} \cdot {(x + 9)}^{2} - 10$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{9}$

$h = - 9$

$k = - 10$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 9, - 10)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{9}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{9}}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 (\frac{9}{4})$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$\frac{9}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 9, - \frac{31}{4})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 9$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{49}{4}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 9, - 10)$

Fuoco: $(- 9, - \frac{31}{4})$

Asse di simmetria: $x = - 9$

Direttrice: $y = - \frac{49}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 9, - 10)$

Fuoco: $(- 9, - \frac{31}{4})$

Asse di simmetria: $x = - 9$

Direttrice: $y = - \frac{49}{4}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10$ nell'espressione.

$f (- 10) = \frac{{(- 10)}^{2}}{9} + 2 (- 10) - 1$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + 2 (- 10) - 1$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} - 20 - 1$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scrivi $- 20$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20}{1} - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 20}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{9}{9} - 1$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 20}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} - 1$

Passaggio 3.2.2.4

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 10) = \frac{100 - 20 \cdot 9 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 20$ per $9$ .

$f (- 10) = \frac{100 - 180 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 10) = \frac{100 - 180 - 9}{9}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $180$ da $100$ .

$f (- 10) = \frac{- 80 - 9}{9}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $9$ da $- 80$ .

$f (- 10) = \frac{- 89}{9}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 10) = - \frac{89}{9}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{89}{9}$ .

$- \frac{89}{9}$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = - 10$ è $- \frac{89}{9}$ .

$y = - \frac{89}{9}$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 11$ nell'espressione.

$f (- 11) = \frac{{(- 11)}^{2}}{9} + 2 (- 11) - 1$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 11$ alla potenza di $2$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + 2 (- 11) - 1$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $2$ per $- 11$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} - 22 - 1$

Passaggio 3.5.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scrivi $- 22$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22}{1} - 1$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $\frac{- 22}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22}{1} \cdot \frac{9}{9} - 1$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $\frac{- 22}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} - 1$

Passaggio 3.5.2.4

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 11) = \frac{121 - 22 \cdot 9 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $- 22$ per $9$ .

$f (- 11) = \frac{121 - 198 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 11) = \frac{121 - 198 - 9}{9}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Sottrai $198$ da $121$ .

$f (- 11) = \frac{- 77 - 9}{9}$

Passaggio 3.5.5.2

Sottrai $9$ da $- 77$ .

$f (- 11) = \frac{- 86}{9}$

Passaggio 3.5.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 11) = - \frac{86}{9}$

Passaggio 3.5.6

La risposta finale è $- \frac{86}{9}$ .

$- \frac{86}{9}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = - 11$ è $- \frac{86}{9}$ .

$y = - \frac{86}{9}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{9} + 2 (- 6) - 1$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{9} + 2 (- 6) - 1$

Passaggio 3.8.1.2

Dividi $36$ per $9$ .

$f (- 6) = 4 + 2 (- 6) - 1$

Passaggio 3.8.1.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f (- 6) = 4 - 12 - 1$

Passaggio 3.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Sottrai $12$ da $4$ .

$f (- 6) = - 8 - 1$

Passaggio 3.8.2.2

Sottrai $1$ da $- 8$ .

$f (- 6) = - 9$

Passaggio 3.8.3

La risposta finale è $- 9$ .

$- 9$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = - 6$ è $- 9$ .

$y = - 9$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2}}{9} + 2 (- 8) - 1$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + 2 (- 8) - 1$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} - 16 - 1$

Passaggio 3.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scrivi $- 16$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16}{1} - 1$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $\frac{- 16}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{9}{9} - 1$

Passaggio 3.11.2.3

Moltiplica $\frac{- 16}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} - 1$

Passaggio 3.11.2.4

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.11.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.11.2.6

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 8) = \frac{64 - 16 \cdot 9 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $- 16$ per $9$ .

$f (- 8) = \frac{64 - 144 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 8) = \frac{64 - 144 - 9}{9}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Sottrai $144$ da $64$ .

$f (- 8) = \frac{- 80 - 9}{9}$

Passaggio 3.11.5.2

Sottrai $9$ da $- 80$ .

$f (- 8) = \frac{- 89}{9}$

Passaggio 3.11.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 8) = - \frac{89}{9}$

Passaggio 3.11.6

La risposta finale è $- \frac{89}{9}$ .

$- \frac{89}{9}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = - 8$ è $- \frac{89}{9}$ .

$y = - \frac{89}{9}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - \frac{86}{9} \\ - 10 & - \frac{89}{9} \\ - 9 & - 10 \\ - 8 & - \frac{89}{9} \\ - 6 & - 9 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 9, - 10)$

Fuoco: $(- 9, - \frac{31}{4})$

Asse di simmetria: $x = - 9$

Direttrice: $y = - \frac{49}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - \frac{86}{9} \\ - 10 & - \frac{89}{9} \\ - 9 & - 10 \\ - 8 & - \frac{89}{9} \\ - 6 & - 9 \end{array}$

Passaggio 5