Preparazione all'algebra Esempi

$x^{2} + 8 x + 4 y + 8 = 0$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x + 4 y + 8 = - x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y + 8 = - x^{2} - 8 x$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = - x^{2} - 8 x - 8$

Passaggio 1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 (1)} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2.4

Dividi $- 2 x$ per $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x + \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Dividi $- 8$ per $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 1 \cdot 4$

Passaggio 2.1.1.3.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$d = 4$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Dividi $4$ per $- 1$ .

$e = - 2 - - 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = - 2 + 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$e = 2$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 2$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Dividi $4$ per $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 2.5.3.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 2.5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, 1)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 4$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = 3$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 4, 2)$

Fuoco: $(- 4, 1)$

Asse di simmetria: $x = - 4$

Direttrice: $y = 3$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 4, 2)$

Fuoco: $(- 4, 1)$

Asse di simmetria: $x = - 4$

Direttrice: $y = 3$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = - \frac{{(- 6)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f (- 6) = - \frac{36}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $36$ per $4$ .

$f (- 6) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 6) = - 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f (- 6) = - 9 + 12 - 2$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $- 9$ e $12$ .

$f (- 6) = 3 - 2$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (- 6) = 1$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = - 6$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + 10 - 2$

Passaggio 3.5.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scrivi $10$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} - 2$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $\frac{10}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $\frac{10}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} - 2$

Passaggio 3.5.2.4

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 5) = \frac{- 25 + 10 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $10$ per $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 8}{4}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Somma $- 25$ e $40$ .

$f (- 5) = \frac{15 - 8}{4}$

Passaggio 3.5.5.2

Sottrai $8$ da $15$ .

$f (- 5) = \frac{7}{4}$

Passaggio 3.5.6

La risposta finale è $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = - 5$ è $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Scrivi $- 2 \cdot - 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} - 2$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Passaggio 3.8.1.3

Moltiplica $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} - 2$

Passaggio 3.8.1.4

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.8.1.6

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.8.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.8.3.3

Moltiplica $- 2 \cdot - 2 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.8.3.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.8.3.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 8}{4}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Somma $- 4$ e $16$ .

$f (- 2) = \frac{12 - 8}{4}$

Passaggio 3.8.4.2

Sottrai $8$ da $12$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4}$

Passaggio 3.8.4.3

Dividi $4$ per $4$ .

$f (- 2) = 1$

Passaggio 3.8.5

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + 6 - 2$

Passaggio 3.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scrivi $6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} - 2$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Passaggio 3.11.2.3

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} - 2$

Passaggio 3.11.2.4

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.11.2.5

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.11.2.6

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = \frac{- 9 + 6 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 8}{4}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Somma $- 9$ e $24$ .

$f (- 3) = \frac{15 - 8}{4}$

Passaggio 3.11.5.2

Sottrai $8$ da $15$ .

$f (- 3) = \frac{7}{4}$

Passaggio 3.11.6

La risposta finale è $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = - 3$ è $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 4, 2)$

Fuoco: $(- 4, 1)$

Asse di simmetria: $x = - 4$

Direttrice: $y = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Passaggio 5