Preparazione all'algebra Esempi

$x^{3} + 8 x^{2} < - 5 x + 14$

Passaggio 1

Aggiungi $5 x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x < 14$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x = 14$

Passaggio 3

Sottrai $14$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Passaggio 4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 4.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Passaggio 4.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Passaggio 4.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 14$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$1 + 8 + 5 \cdot 1 - 14$

Passaggio 4.1.3.5

Somma $1$ e $8$ .

$9 + 5 \cdot 1 - 14$

Passaggio 4.1.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$9 + 5 - 14$

Passaggio 4.1.3.7

Somma $9$ e $5$ .

$14 - 14$

Passaggio 4.1.3.8

Sottrai $14$ da $14$ .

$0$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14}{x - 1}$

Passaggio 4.1.5

Dividi $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ per $x - 1$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$14$

Passaggio 4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Passaggio 4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{2} - 9 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Passaggio 4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$

Passaggio 4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Passaggio 4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $14 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Passaggio 4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							+	$14 x$	-	$14$

Passaggio 4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $14 x - 14$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$

Passaggio 4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$
										$0$

Passaggio 4.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 9 x + 14$

Passaggio 4.1.6

Scrivi $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $x^{2} + 9 x + 14$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x^{2} + 9 x + 14$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $14$ e la cui somma è $9$ .

$2, 7$

Passaggio 4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x + 2) (x + 7)) = 0$

Passaggio 4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 8

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$ vera.

$x = 1, - 2, - 7$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

${(- 10)}^{3} + 8 {(- 10)}^{2} < - 5 \cdot - 10 + 14$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 200$ è minore del lato destro di $64$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 7 < x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 7 < x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} < - 5 \cdot - 4 + 14$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $64$ non è minore del lato destro di $34$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} < - 5 \cdot 0 + 14$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $14$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} < - 5 \cdot 4 + 14$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $192$ non è minore del lato destro di $- 6$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 7$ o $- 2 < x < 1$

Passaggio 13