Preparazione all'algebra Esempi

$x^{2} - y = 1$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = 1 - x^{2}$

Passaggio 1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = 1 - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = 1 - x^{2}$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$y = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y = - 1 + x^{2}$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 2.1.1

Riordina $- 1$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} - 1$

Passaggio 2.1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 1$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Passaggio 2.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{1}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$d = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 2.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$e = - 1 - 0$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = - 1 + 0$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 2.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x + 0)}^{2} - 1$ .

${(x + 0)}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x + 0)}^{2} - 1$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 1$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, - 1)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \frac{3}{4})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{5}{4}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, - 1)$

Fuoco: $(0, - \frac{3}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{5}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, - 1)$

Fuoco: $(0, - \frac{3}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{5}{4}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 1$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.5.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4 - 1$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (- 2) = 3$

Passaggio 3.5.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.8.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 1$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 3.8.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{2} - 1$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.11.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 - 1$

Passaggio 3.11.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 3.11.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, - 1)$

Fuoco: $(0, - \frac{3}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 5