Preparazione all'algebra Esempi

$y^{2} + 6 y + x + 10 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y + x + 10 = - y^{2}$

Passaggio 1.2

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + 10 = - y^{2} - 6 y$

Passaggio 1.3

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - y^{2} - 6 y - 10$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $- y^{2} - 6 y - 10$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - 10$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 3$ come $- - 3$ .

$d = - - 3$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$d = 3$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 10 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = - 10 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = - 10 - \frac{36}{- 4}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $36$ per $- 4$ .

$e = - 10 - - 9$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$e = - 10 + 9$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Somma $- 10$ e $9$ .

$e = - 1$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(y + 3)}^{2} - 1$ .

$- {(y + 3)}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - {(y + 3)}^{2} - 1$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = - 3$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{5}{4}, - 3)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 3$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 1, - 3)$

Fuoco: $(- \frac{5}{4}, - 3)$

Asse di simmetria: $y = - 3$

Direttrice: $x = - \frac{3}{4}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 1, - 3)$

Fuoco: $(- \frac{5}{4}, - 3)$

Asse di simmetria: $y = - 3$

Direttrice: $x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $- 3$ di $x$ in $f (x) = - 3 + \sqrt{- x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(- 3, - 1.58578643)$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - 3 + \sqrt{- (- 3) - 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 + \sqrt{3 - 1}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (- 3) = - 3 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $- 3 + \sqrt{2}$ .

$y = - 3 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.1.3

Converti $- 3 + \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 1.58578643$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $- 3$ di $x$ in $f (x) = - 3 - \sqrt{- x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(- 3, - 4.41421356)$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - 3 - \sqrt{- (- 3) - 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 - \sqrt{3 - 1}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (- 3) = - 3 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.2.2

La risposta finale è $- 3 - \sqrt{2}$ .

$y = - 3 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.3

Converti $- 3 - \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 4.41421356$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = - 3 + \sqrt{- x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, - 2)$ .

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 3 + \sqrt{- (- 2) - 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 + \sqrt{2 - 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (- 2) = - 3 + \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 3.3.3

Converti $- 2$ in decimale.

$= - 2$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = - 3 - \sqrt{- x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, - 4)$ .

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 3 - \sqrt{- (- 2) - 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 - \sqrt{2 - 1}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (- 2) = - 3 - \sqrt{1}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 2) = - 3 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- 2) = - 3 - 1$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$f (- 2) = - 4$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 3.4.3

Converti $- 4$ in decimale.

$= - 4$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 1.59 \\ - 3 & - 4.41 \\ - 2 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 1, - 3)$

Fuoco: $(- \frac{5}{4}, - 3)$

Asse di simmetria: $y = - 3$

Direttrice: $x = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 1.59 \\ - 3 & - 4.41 \\ - 2 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Passaggio 5