Preparazione all'algebra Esempi

$y^{2} + 4 x^{2} > 4$

Passaggio 1

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$y^{2} > 4 - 4 x^{2}$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| y | > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\sqrt{4 - 4 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 - 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) - 4 x^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) + 4 (- x^{2})}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- x^{2})$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1^{2} - x^{2})}$

Passaggio 3.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi $4 (1 + x) (1 - x)$ come $2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1^{2} + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.2.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$| y | > \sqrt{2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))}$

Passaggio 3.2.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$| y | > | 2 | \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.2.1.6

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| y | > 2 \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.2.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4

Scrivi $| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$y \geq 0$

Passaggio 4.2

Nella parte in cui $y$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4.3

Individua il dominio di $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e trova l'intersezione con $y \geq 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Trova il dominio di $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Semplifica $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 1$

Passaggio 4.3.1.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.1.2.3.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.3.1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.3.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Passaggio 4.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Passaggio 4.3.1.2.5

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.5.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Passaggio 4.3.1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.5.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | \leq 1$

Passaggio 4.3.1.2.6

Scrivi $| x | \leq 1$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.6.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.3.1.2.6.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 1$

Passaggio 4.3.1.2.6.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.3.1.2.6.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 1$

Passaggio 4.3.1.2.6.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.3.1.2.7

Trova l'intersezione di $x \leq 1$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Passaggio 4.3.1.2.8

Risolvi $- x \leq 1$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.8.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.3.1.2.8.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.8.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.3.1.2.8.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.3.1.2.8.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.8.1.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x \geq - 1$

Passaggio 4.3.1.2.8.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 1$ e $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Passaggio 4.3.1.2.9

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 1 \leq x \leq 1$

Passaggio 4.3.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, 1]$

Passaggio 4.3.2

Trova l'intersezione di $y \geq 0$ e $[- 1, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Passaggio 4.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$y < 0$

Passaggio 4.5

Nella parte in cui $y$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4.6

Individua il dominio di $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e trova l'intersezione con $y < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Trova il dominio di $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1

Semplifica $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 1$

Passaggio 4.6.1.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.6.1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.6.1.2.3.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.6.1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.3.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Passaggio 4.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Passaggio 4.6.1.2.5

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.5.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Passaggio 4.6.1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.5.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | \leq 1$

Passaggio 4.6.1.2.6

Scrivi $| x | \leq 1$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.6.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.6.1.2.6.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 1$

Passaggio 4.6.1.2.6.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.6.1.2.6.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 1$

Passaggio 4.6.1.2.6.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.6.1.2.7

Trova l'intersezione di $x \leq 1$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Passaggio 4.6.1.2.8

Risolvi $- x \leq 1$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.8.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.6.1.2.8.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.8.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.6.1.2.8.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.6.1.2.8.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.8.1.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x \geq - 1$

Passaggio 4.6.1.2.8.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 1$ e $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Passaggio 4.6.1.2.9

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 1 \leq x \leq 1$

Passaggio 4.6.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, 1]$

Passaggio 4.6.2

Trova l'intersezione di $y < 0$ e $[- 1, 1]$ .

$- 1 \leq y < 0$

Passaggio 4.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & - 1 \leq y < 0 \end{cases}$

Passaggio 5

Trova l'intersezione di $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e $0 \leq y \leq 1$ .

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Risolvi $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ dove $- 1 \leq y < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ come $- (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ .

$y < - (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 6.2

Trova l'intersezione di $y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e $- 1 \leq y < 0$ .

$- 1 \leq y < N o (Min i m u m)$

Passaggio 7

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 1 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Passaggio 8