Preparazione all'algebra Esempi

$y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x - 25 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $y^{2} - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $36$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 0 - 9$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$e = - 9$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y - 3)}^{2} - 9$ .

${(y - 3)}^{2} - 9$

Passaggio 1.3

Sostituisci $y^{2} - 6 y$ con ${(y - 3)}^{2} - 9$ nell'equazione $y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$ .

${(y - 3)}^{2} - 9 - x^{2} - 10 x = 25$

Passaggio 1.4

Sposta $- 9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

${(y - 3)}^{2} - x^{2} - 10 x = 25 + 9$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- x^{2} - 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 5$ come $- - 5$ .

$d = - - 5$

Passaggio 1.5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$d = 5$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $100$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $25$ .

$e = 25$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(x + 5)}^{2} + 25$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- x^{2} - 10 x$ con $- {(x + 5)}^{2} + 25$ nell'equazione $y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} + 25 = 25 + 9$

Passaggio 1.7

Sposta $25$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $25$ a entrambi i lati.

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 25 + 9 - 25$

Passaggio 1.8

Semplifica $25 + 9 - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $25$ e $9$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 34 - 25$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $25$ da $34$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 9$

Passaggio 1.9

Dividi per $9$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 3$

$k = 3$

$h = - 5$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 5, 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + 9}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $9$ .

$\sqrt{18}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\sqrt{9 (2)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 6)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 5, 6), (- 5, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 3 + 3 \sqrt{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 5, 3 + 3 \sqrt{2}), (- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9}}{3}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{18}}{3}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{3}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Passaggio 8.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $3^{2}$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $3$ da $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{2})}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

Passaggio 11.2

Semplifica $1 \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $x - (- 5)$ per $1$ .

$y = x - (- 5) + 3$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y = x + 5 + 3$

Passaggio 11.2.2

Somma $5$ e $3$ .

$y = x + 8$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

Passaggio 12.2

Semplifica $- 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y = - 1 \cdot (x + 5) + 3$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot 5 + 3$

Passaggio 12.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 5 + 3$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = - x - 5 + 3$

Passaggio 12.2.2

Somma $- 5$ e $3$ .

$y = - x - 2$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = x + 8, y = - x - 2$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 5, 3)$

Vertici: $(- 5, 6), (- 5, 0)$

Fuochi: $(- 5, 3 + 3 \sqrt{2}), (- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

Eccentricità: $\sqrt{2}$

Asse focale: $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Asintoti: $y = x + 8$ , $y = - x - 2$

Passaggio 15