Preparazione all'algebra Esempi

Tracciare y^2-x^2-6y-10x-25=0
Passaggio 1
Trova la forma standard dell'iperbole.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.2
Completa il quadrato per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Utilizza la forma per trovare i valori di , e .
Passaggio 1.2.2
Considera la forma del vertice di una parabola.
Passaggio 1.2.3
Trova il valore di usando la formula .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.1
Sostituisci i valori di e nella formula .
Passaggio 1.2.3.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.3.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.3.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.3.2.2.4
Dividi per .
Passaggio 1.2.4
Trova il valore di usando la formula .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.1
Sostituisci i valori di , e nella formula .
Passaggio 1.2.4.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.2.4.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.4.2.1.3
Dividi per .
Passaggio 1.2.4.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.4.2.2
Sottrai da .
Passaggio 1.2.5
Sostituisci i valori di , e nella forma del vertice di .
Passaggio 1.3
Sostituisci con nell'equazione .
Passaggio 1.4
Sposta sul lato destro dell'equazione aggiungendo a entrambi i lati.
Passaggio 1.5
Completa il quadrato per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.1
Utilizza la forma per trovare i valori di , e .
Passaggio 1.5.2
Considera la forma del vertice di una parabola.
Passaggio 1.5.3
Trova il valore di usando la formula .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.3.1
Sostituisci i valori di e nella formula .
Passaggio 1.5.3.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.3.2.1
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.3.2.1.1
Scomponi da .
Passaggio 1.5.3.2.1.2
Sposta quello negativo dal denominatore di .
Passaggio 1.5.3.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.5.3.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4
Trova il valore di usando la formula .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.4.1
Sostituisci i valori di , e nella formula .
Passaggio 1.5.4.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.4.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.5.4.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.3
Dividi per .
Passaggio 1.5.4.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.2
Somma e .
Passaggio 1.5.5
Sostituisci i valori di , e nella forma del vertice di .
Passaggio 1.6
Sostituisci con nell'equazione .
Passaggio 1.7
Sposta sul lato destro dell'equazione aggiungendo a entrambi i lati.
Passaggio 1.8
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.8.1
Somma e .
Passaggio 1.8.2
Sottrai da .
Passaggio 1.9
Dividi per ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.
Passaggio 1.10
Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia .
Passaggio 2
Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.
Passaggio 3
Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile rappresenta lo spostamento x dall'origine, rappresenta lo spostamento y dall'origine, .
Passaggio 4
Il centro di un'iperbole segue la forma di . Sostituisci con i valori di e .
Passaggio 5
Trova , la distanza dal centro a un fuoco.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.
Passaggio 5.2
Sostituisci i valori di e nella formula.
Passaggio 5.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.3
Somma e .
Passaggio 5.3.4
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.3.5
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 6
Trova i vertici.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando a .
Passaggio 6.2
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 6.3
Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo da .
Passaggio 6.4
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 6.5
I vertici di un'iperbole seguono la forma di . Le iperboli hanno due vertici.
Passaggio 7
Trova i fuochi.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando a .
Passaggio 7.2
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 7.3
Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo da .
Passaggio 7.4
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 7.5
I fuochi di un'iperbole seguono la forma di . Le iperboli hanno due fuochi.
Passaggio 8
Trova l'eccentricità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.1
Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.
Passaggio 8.2
Sostituisci i valori di e all'interno della formula.
Passaggio 8.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.1.3
Somma e .
Passaggio 8.3.1.4
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.1.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 8.3.1.5
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 8.3.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.2.2
Dividi per .
Passaggio 9
Trova l'asse focale.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.
Passaggio 9.2
Sostituisci i valori di e nella formula.
Passaggio 9.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.1.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.1.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.1.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.3
Combina e semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.3.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.3.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 9.3.3.5
Somma e .
Passaggio 9.3.3.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.3.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.3.3.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.3.3.6.3
e .
Passaggio 9.3.3.6.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.3.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.3.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.3.3.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 10
Gli asintoti seguono la forma perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.
Passaggio 11
Semplifica per trovare il primo asintoto.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Rimuovi le parentesi.
Passaggio 11.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.2
Somma e .
Passaggio 12
Semplifica per trovare il secondo asintoto.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.1
Rimuovi le parentesi.
Passaggio 12.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.1.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 12.2.1.3
Riscrivi come .
Passaggio 12.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.2
Somma e .
Passaggio 13
Questa iperbole ha due asintoti.
Passaggio 14
Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.
Centro:
Vertici:
Fuochi:
Eccentricità:
Asse focale:
Asintoti: ,
Passaggio 15