Preparazione all'algebra Esempi

$y^{2} - 16 x^{2} = 144$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

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Passaggio 1.1

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{16 x^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 12$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{144 + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{144 + 9}$

Passaggio 5.3.3

Somma $144$ e $9$ .

$\sqrt{153}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $153$ come $3^{2} \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $9$ da $153$ .

$\sqrt{9 (17)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 17}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{17}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 12)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 12)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(0, 12), (0, - 12)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 3 \sqrt{17})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 3 \sqrt{17})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(0, 3 \sqrt{17}), (0, - 3 \sqrt{17})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(3)}^{2}}}{12}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 3^{2}}}{12}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 9}}{12}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma $144$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{153}}{12}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi $153$ come $3^{2} \cdot 17$ .

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Passaggio 8.3.1.4.1

Scomponi $9$ da $153$ .

$\frac{\sqrt{9 (17)}}{12}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 17}}{12}$

Passaggio 8.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{17}}{12}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{17}$ .

$\frac{3 (\sqrt{17})}{12}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{17}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{17}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $3^{2}$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $3$ da $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{17}}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{17}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{17})}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{17}}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{\sqrt{17}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{17}}$ per $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{17}}$ per $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{17}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{17}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{17}}^{2}$ come $17$ .

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Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{17}$ come $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \sqrt{17}}{17}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm 4 \cdot x + 0$

Passaggio 11

Somma $4 \cdot x$ e $0$ .

$y = 4 x$

Passaggio 12

Somma $- 4 \cdot x$ e $0$ .

$y = - 4 x$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = 4 x, y = - 4 x$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(0, 12), (0, - 12)$

Fuochi: $(0, 3 \sqrt{17}), (0, - 3 \sqrt{17})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{17}}{4}$

Asse focale: $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$

Asintoti: $y = 4 x$ , $y = - 4 x$

Passaggio 15