Preparazione all'algebra Esempi

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini non contenenti una variabile sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $54$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

Passaggio 1.1.2

Somma $161$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

Passaggio 1.1.3

Somma $54$ e $161$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $16 x^{2} + 64 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $64$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{32}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $32$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $64$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $4096$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 0 - 64$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$e = - 64$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Passaggio 1.3

Sostituisci $16 x^{2} + 64 x$ con $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ nell'equazione $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

Passaggio 1.4

Sposta $- 64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

Passaggio 1.5

Somma $215$ e $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

Passaggio 1.6

Dividi per $279$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $9$ per $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

Passaggio 5.3.4

Per scrivere $31$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

Passaggio 5.3.5

$31$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Moltiplica $31$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

Passaggio 5.3.7.2

Somma $279$ e $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

Passaggio 5.3.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{775}{16}}$ come $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Riscrivi $775$ come $5^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1.1

Scomponi $25$ da $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.9.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.9.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.2

Moltiplica $9$ per $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.3

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.4.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.5

Per scrivere $31$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.6

$31$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Moltiplica $31$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.8.2

Somma $279$ e $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{775}{16}}$ come $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Riscrivi $775$ come $5^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1.1

Scomponi $25$ da $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.10.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1.1

Scomponi $\sqrt{31}$ da $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Passaggio 8.3.12.1.2

Scomponi $\sqrt{31}$ da $3 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Passaggio 8.3.12.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Passaggio 8.3.12.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Passaggio 8.3.12.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Passaggio 8.3.12.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{1}{3})$

Passaggio 8.3.12.3

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di ${\sqrt{31}}^{2}$ e $\sqrt{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $\sqrt{31}$ da ${\sqrt{31}}^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $\sqrt{31}$ da $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{31}}{5}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ e $0$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Passaggio 11.2.3

$\frac{4}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

$\frac{4}{3}$ e $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Somma $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ e $0$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

Passaggio 12.2.3

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

Passaggio 12.2.4.2

$- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

Passaggio 12.2.4.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 2, 0)$

Vertici: $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Fuochi: $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Eccentricità: $\frac{5}{3}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{31}}{20}$

Asintoti: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 15