Preparazione all'algebra Esempi

$- 16 x^{2} + 96 x - 144 + 4 y^{2} - 32 y = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $144$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- 16 x^{2} + 96 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 16$

$b = 96$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $96$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (- 16)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{48}{- 16}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $48$ e $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$d = \frac{16 (3)}{- 16}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot - 16}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $96$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot - 16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{- 64}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $9216$ per $- 64$ .

$e = 0 - - 144$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $0$ e $144$ .

$e = 144$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 16 x^{2} + 96 x$ con $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ nell'equazione $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144 + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Passaggio 1.4

Sposta $144$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $144$ a entrambi i lati.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 32 y = 144 - 144$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $4 y^{2} - 32 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 16}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$d = - 4$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 32$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $1024$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 0 - 64$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$e = - 64$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6

Sostituisci $4 y^{2} - 32 y$ con $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ nell'equazione $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} - 64 = 144 - 144$

Passaggio 1.7

Sposta $- 64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 144 - 144 + 64$

Passaggio 1.8

Semplifica $144 - 144 + 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sottrai $144$ da $144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 0 + 64$

Passaggio 1.8.2

Somma $0$ e $64$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 64$

Passaggio 1.9

Dividi per $64$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(3, 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Passaggio 5.3.3

Somma $16$ e $4$ .

$\sqrt{20}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 8)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(3, 8), (3, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma $16$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $2^{2}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Passaggio 11.2

Semplifica $2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = 2 \cdot (x - 3) + 4$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 3 + 4$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y = 2 x - 6 + 4$

Passaggio 11.2.2

Somma $- 6$ e $4$ .

$y = 2 x - 2$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Passaggio 12.2

Semplifica $- 2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = - 2 \cdot (x - 3) + 4$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 3 + 4$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$y = - 2 x + 6 + 4$

Passaggio 12.2.2

Somma $6$ e $4$ .

$y = - 2 x + 10$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = 2 x - 2, y = - 2 x + 10$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(3, 4)$

Vertici: $(3, 8), (3, 0)$

Fuochi: $(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Asse focale: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Asintoti: $y = 2 x - 2$ , $y = - 2 x + 10$

Passaggio 15