Preparazione all'algebra Esempi

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{16}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{4}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{4^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{16}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16}}$

Passaggio 5.3.8

Per scrivere $- \frac{1}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 5.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $144$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{16}{9 \cdot 16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 5.3.9.2

Moltiplica $9$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 5.3.9.3

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{16 \cdot 9}}$

Passaggio 5.3.9.4

Moltiplica $16$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{144}}$

Passaggio 5.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{16 - 9}{144}}$

Passaggio 5.3.11

Sottrai $9$ da $16$ .

$\sqrt{\frac{7}{144}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{7}{144}}$ come $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}}$

Passaggio 5.3.13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.13.1

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12^{2}}}$

Passaggio 5.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{7}}{12}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \frac{1}{3})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\frac{1}{3}))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - \frac{1}{3})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{3})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{7}}{12})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{7}}{12}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - {(\frac{1}{4})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1^{2}}{4^{2}}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{4^{2}}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.7

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{16}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.9

Per scrivere $- \frac{1}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $144$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.3.10.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{16}{9 \cdot 16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10.2

Moltiplica $9$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10.3

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{16 \cdot 9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10.4

Moltiplica $16$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{16}{144} - \frac{9}{144}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{16 - 9}{144}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.12

Sottrai $9$ da $16$ .

$\sqrt{\frac{7}{144}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{7}{144}}$ come $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{144}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.14

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12^{2}}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{7}}{12} \cdot 3$

Passaggio 8.3.15

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.3.15.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{7}}{3 (4)} \cdot 3$

Passaggio 8.3.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 4} \cdot 3$

Passaggio 8.3.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{7}}{12})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Passaggio 10