Preparazione all'algebra Esempi

$16 (t^{2} - 3 t - 12)$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica $16 (x^{2} - 3 x - 12)$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 16 x^{2} + 16 (- 3 x) + 16 \cdot - 12$

Passaggio 1.1.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$y = 16 x^{2} - 48 x + 16 \cdot - 12$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $16$ per $- 12$ .

$y = 16 x^{2} - 48 x - 192$

Passaggio 1.1.2

Completa il quadrato per $16 x^{2} - 48 x - 192$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 48$

$c = - 192$

Passaggio 1.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 48}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 48$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 48$ .

$d = \frac{2 \cdot - 24}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 24}{2 (16)}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 24}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 24}{16}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.2.1

Scomponi $8$ da $- 24$ .

$d = \frac{8 (- 3)}{16}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$d = \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 192 - \frac{{(- 48)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.4.2.1.1

Eleva $- 48$ alla potenza di $2$ .

$e = - 192 - \frac{2304}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = - 192 - \frac{2304}{64}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3

Dividi $2304$ per $64$ .

$e = - 192 - 1 \cdot 36$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$e = - 192 - 36$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Sottrai $36$ da $- 192$ .

$e = - 228$

Passaggio 1.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 228$ .

$16 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 228$

Passaggio 1.1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 16 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 228$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 16$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - 228$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - 228)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $16$ .

$\frac{1}{64}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{3}{2}, - \frac{14591}{64})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{14593}{64}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{2}, - 228)$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, - \frac{14591}{64})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{14593}{64}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{2}, - 228)$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, - \frac{14591}{64})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{14593}{64}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 16 {(1)}^{2} - 48 \cdot 1 - 192$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 16 \cdot 1 - 48 \cdot 1 - 192$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f (1) = 16 - 48 \cdot 1 - 192$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f (1) = 16 - 48 - 192$

Passaggio 2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $48$ da $16$ .

$f (1) = - 32 - 192$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $192$ da $- 32$ .

$f (1) = - 224$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 224$ .

$- 224$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 224$ .

$y = - 224$

Passaggio 2.4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 224 \\ \frac{3}{2} & - 228 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{2}, - 228)$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, - \frac{14591}{64})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{14593}{64}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 224 \\ \frac{3}{2} & - 228 \end{array}$

Passaggio 4