Preparazione all'algebra Esempi

12 x^{2} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione

12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ è indefinita.

x \leq 0

$x \leq 0$

Passaggio 2

Poiché

12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ da sinistra e

12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ da destra, allora

x = 0

$x = 0$ è un asintoto verticale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 3

Poiché il limite non esiste, non ci sono asintoti orizzontali.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 4

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per scrivere

12 x^{2}

$12 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Scomponi

12

$12$ da

12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12

$12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Scomponi

12

$12$ da

12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}

$12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Scomponi

12

$12$ da

12

$12$ .

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.1.3

Scomponi

12

$12$ da

12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)

$12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)$ .

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica

x^{2}

$x^{2}$ per

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{12 (x^{2 + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2 + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Per scrivere

2

$2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{12 (x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.3

2

$2$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.5.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{12 (x^{\frac{4 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{4 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.5.2

Somma

4

$4$ e

1

$1$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere

24 x^{\frac{1}{2}}

$24 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi

12

$12$ da

12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}

$12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Scomponi

12

$12$ da

24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}

$24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Scomponi

12

$12$ da

12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})

$12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.2

Moltiplica

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ per

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Sposta

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.2.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.2.5

Dividi

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.3

Semplifica

2 x^{1}

$2 x^{1}$ .

\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.6.4

Riordina i termini.

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.7

Semplifica.

\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Scomponi

12

$12$ da

24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12

$24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi

12

$12$ da

24 x

$24 x$ .

\frac{12 (2 x) + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x) + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi

12

$12$ da

12 x^{\frac{5}{2}}

$12 x^{\frac{5}{2}}$ .

\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi

12

$12$ da

12

$12$ .

\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Scomponi

12

$12$ da

12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}})

$12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}})$ .

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.5

Scomponi

12

$12$ da

12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)

$12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)$ .

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali:

x = 0

$x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui:

y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6