Preparazione all'algebra Esempi

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y + 203 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $203$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $18 x^{2} - 126 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 18$

$b = - 126$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 126}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 126$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 126$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 (18)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 63}{18}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 63$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 63$ .

$d = \frac{9 (- 7)}{18}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{7}{2}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 126)}^{2}}{4 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 126$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $18$ .

$e = 0 - \frac{15876}{72}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $15876$ e $72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Scomponi $36$ da $15876$ .

$e = 0 - \frac{36 (441)}{72}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{441}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $\frac{441}{2}$ da $0$ .

$e = - \frac{441}{2}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $18 x^{2} - 126 x$ con $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ nell'equazione $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203$

Passaggio 1.4

Sposta $- \frac{441}{2}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{441}{2}$ a entrambi i lati.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203 + \frac{441}{2}$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $2 y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2^{2}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 \cdot 2$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $2 y^{2} + 2 y$ con $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ nell'equazione $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = - 203 + \frac{441}{2}$

Passaggio 1.7

Sposta $- \frac{1}{2}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441 + 1}{2}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Somma $441$ e $1$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{442}{2}$

Passaggio 1.8.2.2

Dividi $442$ per $2$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + 221$

Passaggio 1.8.2.3

Somma $- 203$ e $221$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 18$

Passaggio 1.9

Dividi per $18$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{18 {(x - \frac{7}{2})}^{2}}{18} + \frac{2 {(y + \frac{1}{2})}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{{(y + \frac{1}{2})}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sqrt{9 - 1}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $1$ da $9$ .

$\sqrt{8}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 3)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (3))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (2 \sqrt{2}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 1}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1}}{3}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $1$ da $9$ .

$\frac{\sqrt{8}}{3}$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

Passaggio 8.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Passaggio 8.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Eccentricità: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 10