Preparazione all'algebra Esempi

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 8 y - 19 = 0$

Passaggio 1

Somma $19$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 8 y = 19$

Passaggio 2

Dividi entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$

Passaggio 3

Completa il quadrato per $x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Passaggio 3.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 3.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 3.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Passaggio 3.4.2.1.1.6.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Passaggio 4

Sostituisci $x^{2} - 4 x$ con ${(x - 2)}^{2} - 4$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = \frac{19}{2}$

Passaggio 5

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + 4 y = \frac{19}{2} + 4$

Passaggio 6

Completa il quadrato per $y^{2} + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Passaggio 6.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 6.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 6.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 6.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{2} + 4 y$ con ${(y + 2)}^{2} - 4$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = \frac{19}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = \frac{19}{2} + 4$

Passaggio 8

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + 4 + 4$

Passaggio 9

Semplifica $\frac{19}{2} + 4 + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4}{1} + 4$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} + 4$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + 4$

Passaggio 9.1.4

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 8 + 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{19 + 8 + 8}{2}$

Passaggio 9.4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Somma $19$ e $8$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{27 + 8}{2}$

Passaggio 9.4.2

Somma $27$ e $8$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{35}{2}$

Passaggio 10

Questa è la forma di un cerchio. Usa la forma per determinare il centro e il raggio del cerchio.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 11

Abbina i valori di questo cerchio a quelli della forma standard. La variabile $r$ rappresenta il raggio del cerchio, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$r = \frac{\sqrt{70}}{2}$

$h = 2$

$k = - 2$

Passaggio 12

Il centro di un cerchio si trova a $(h, k)$ .

Centro: $(2, - 2)$

Passaggio 13

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un cerchio.

Centro: $(2, - 2)$

Raggio: $\frac{\sqrt{70}}{2}$

Passaggio 14