Preparazione all'algebra Esempi

$25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y - 206 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $206$ a entrambi i lati dell'equazione.

$25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $25 x^{2} + 100 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{50}{25}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $50$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $100$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $10000$ per $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$e = 0 - 100$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $100$ da $0$ .

$e = - 100$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Passaggio 1.3

Sostituisci $25 x^{2} + 100 x$ con $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ nell'equazione $25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 - 9 y^{2} - 54 y = 206$

Passaggio 1.4

Sposta $- 100$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $100$ a entrambi i lati.

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 206 + 100$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 9 y^{2} - 54 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 27}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 27$ .

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $2916$ per $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $81$ .

$e = 81$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 9 y^{2} - 54 y$ con $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ nell'equazione $25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 206 + 100$

Passaggio 1.7

Sposta $81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 206 + 100 - 81$

Passaggio 1.8

Semplifica $206 + 100 - 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $206$ e $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 306 - 81$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $81$ da $306$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Passaggio 1.9

Dividi per $225$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 5$

$k = - 3$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, - 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + 25}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $25$ .

$\sqrt{34}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, - 3)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, - 3)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(1, - 3), (- 5, - 3)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 + \sqrt{34}, - 3)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 2 + \sqrt{34}, - 3), (- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 5^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 25}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Somma $9$ e $25$ .

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{34}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{25}{\sqrt{34}}$ per $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{25}{\sqrt{34}}$ per $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{34}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{34}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{34}}^{2}$ come $34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{34}$ come $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x + 2) - 3$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{5}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{5}{3}$ e $2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} - 3$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} - 3$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

$- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10 - 9}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $9$ da $10$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x + 2) - 3$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{5}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - 2 (\frac{5}{3}) - 3$

Passaggio 12.2.1.4.2

$- 2$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{- 2 \cdot 5}{3} - 3$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{- 10}{3} - 3$

Passaggio 12.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{3} + \frac{- 10}{3} - 3$

Passaggio 12.2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} - 3$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.3

$- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 10 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 10 - 9}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $9$ da $- 10$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 19}{3}$

Passaggio 12.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}, y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 2, - 3)$

Vertici: $(1, - 3), (- 5, - 3)$

Fuochi: $(- 2 + \sqrt{34}, - 3), (- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Asse focale: $\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Asintoti: $y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$ , $y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Passaggio 15