Preparazione all'algebra Esempi

$| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$

Passaggio 1

Scrivi $| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per scrivere $\frac{x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.2

Per scrivere $- \frac{x}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{x}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.3.3

Moltiplica $\frac{x}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.5.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.5.1.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4$ .

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.5.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 3$ .

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.5.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.1.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x}{12} \geq 0$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica ogni lato per $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Passaggio 1.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x \geq 0 \cdot 12$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica $0$ per $12$ .

$x \geq 0$

Passaggio 1.3

Nella parte in cui $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$

Passaggio 1.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 0$

Passaggio 1.5

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Per scrivere $\frac{x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} < 0$

Passaggio 1.5.1.2

Per scrivere $- \frac{x}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Passaggio 1.5.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Moltiplica $\frac{x}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Passaggio 1.5.1.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Passaggio 1.5.1.3.3

Moltiplica $\frac{x}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} < 0$

Passaggio 1.5.1.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.5.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.5.1.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4$ .

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.5.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 3$ .

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.5.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} < 0$

Passaggio 1.5.1.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x}{12} < 0$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica ogni lato per $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Passaggio 1.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x < 0 \cdot 12$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Moltiplica $0$ per $12$ .

$x < 0$

Passaggio 1.6

Nella parte in cui $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0$

Passaggio 1.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8

Semplifica $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Per scrivere $\frac{x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.2

Per scrivere $- \frac{x}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $\frac{x}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.3.3

Moltiplica $\frac{x}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.1.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.1.1.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4$ .

${\begin{cases} \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.5.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.5.1.1.3

Scomponi $x$ da $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.5.1.3

Sottrai $3$ da $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.8.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Per scrivere $\frac{x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.2

Per scrivere $- \frac{x}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.3.1

Moltiplica $\frac{x}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.3.3

Moltiplica $\frac{x}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.5.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.5.1.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.5.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.5.3

Sottrai $3$ da $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.9.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2

Risolvi $\frac{x}{12} - 1 < 0$ dove $x \geq 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi $\frac{x}{12} - 1 < 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x}{12} < 1$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica ogni lato per $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x < 1 \cdot 12$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$x < 12$

Passaggio 2.2

Trova l'intersezione di $x < 12$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 12$

Passaggio 3

Risolvi $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \frac{x}{12} < 1$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x}{12} < 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x}{12} < 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- \frac{x}{12}}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{x}{12}}{1} > \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Dividi $\frac{x}{12}$ per $1$ .

$\frac{x}{12} > \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{x}{12} > - 1$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica ogni lato per $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x > - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$x > - 12$

Passaggio 3.2

Trova l'intersezione di $x > - 12$ e $x < 0$ .

$- 12 < x < 0$

Passaggio 4

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 12 < x < 12$

Passaggio 5