Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

Passaggio 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ come $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ .

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Passaggio 3

Espandi $\ln (5^{2 x - 3})$ spostando $2 x - 3$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Passaggio 4

Rimuovi le parentesi.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ come $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ .

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

Passaggio 6

Espandi $\ln (3^{x + 2})$ spostando $x + 2$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

Passaggio 7

Rimuovi le parentesi.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Passaggio 8

Risolvi la diseguaglianza per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Passaggio 8.1.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Passaggio 8.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Passaggio 8.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Passaggio 8.1.2

Riordina $\ln (3)$ e $- 2 x \ln (5)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

Passaggio 8.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.2.2

Riordina $\ln (5)$ e $- x \ln (3)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (5)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3.1.1.3

Semplifica $3 \ln (5)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3.1.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $3$ per $125$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.3.1.4

Riordina i fattori in $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Passaggio 8.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

Passaggio 8.4.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

Passaggio 8.4.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

Passaggio 8.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

Passaggio 8.6

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

Passaggio 8.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

Passaggio 8.7.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.1

Scomponi $5$ da $375$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

Passaggio 8.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

Passaggio 8.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

Passaggio 8.7.3

Moltiplica $75$ per $9$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

Passaggio 8.8

Sottrai $\ln (675)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Passaggio 8.9

Scomponi $x$ da $- x \ln (25) + x \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Scomponi $x$ da $- x \ln (25)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Passaggio 8.9.2

Scomponi $x$ da $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

Passaggio 8.9.3

Scomponi $x$ da $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Passaggio 8.10

Riscrivi $- 1 \ln (25)$ come $- \ln (25)$ .

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Passaggio 8.11

Dividi per $- \ln (25) + \ln (3)$ ciascun termine in $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.1

Dividi per $- \ln (25) + \ln (3)$ ciascun termine in $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ .

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Passaggio 8.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln (25) + \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Passaggio 8.11.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Passaggio 8.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Passaggio 8.11.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (25)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Passaggio 8.11.3.3

Scomponi $- 1$ da $\ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

Passaggio 8.11.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

Passaggio 8.11.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (25) - \ln (3))$ come $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

Passaggio 8.11.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Passaggio 8.11.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Passaggio 8.11.3.5.4

Moltiplica $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Passaggio 10