Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 16}}{\frac{2 x + 10}{x^{2} - 4 x \cdot \frac{2 x + 8}{x^{2} - 5 x}}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ è indefinita.

$x = - 4, x = 4$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 4$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 4$ da destra, allora $x = - 4$ è un asintoto verticale.

$x = - 4$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $4$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $4$ da destra, allora $x = 4$ è un asintoto verticale.

$x = 4$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 4, 4$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 32$ .

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Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2}) - 32}$

Passaggio 8.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Passaggio 8.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 16)}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 4^{2})}$

Passaggio 8.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$

Passaggio 8.2

Espandi $2 (x + 4) (x - 4)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{(2 x + 2 \cdot 4) (x - 4)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x (x - 4) + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.5

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.12

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2.13

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x - 32}$

Passaggio 8.2.14

Somma $- 8 x$ e $8 x$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 0 - 32}$

Passaggio 8.2.15

Sottrai $32$ da $0$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 32}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$32$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

							$\frac{x}{2}$
	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					+	$x^{3}$	+	$0$	-	$16 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 16 x$

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$80$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{2} + 0 + 80$

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$
									+	$8 x$	-	$112$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{2} + \frac{8 x - 112}{2 x^{2} - 32}$

Passaggio 8.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 4, 4$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Passaggio 10