Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $3$ da $3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{5}$ .

$\frac{3 (x^{5}) + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $3$ da $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $3$ da $54 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $3$ da $108 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.5

Scomponi $3$ da $- 525 x$ .

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.6

Scomponi $3$ da $- 1050$ .

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.7

Scomponi $3$ da $3 x^{5} + 3 (2 x^{4})$ .

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.8

Scomponi $3$ da $3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3})$ .

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.9

Scomponi $3$ da $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2})$ .

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.10

Scomponi $3$ da $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x)$ .

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.1.11

Scomponi $3$ da $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350$ .

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2

Espandi $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.8

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $3$ per $18$ .

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $3$ per $36$ .

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.13

Moltiplica $3$ per $- 175$ .

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.2.14

Moltiplica $3$ per $- 350$ .

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

+

$3 x^{5}$

+

$0$

+

$75 x^{3}$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{5} + 0 + 75 x^{3}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x^{3}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

+

$6 x^{4}$

+

$0$

+

$150 x^{2}$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{4} + 0 + 150 x^{2}$

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

-

$21 x^{3}$

-

$42 x^{2}$

Passaggio 6.13

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

-

$21 x^{3}$

-

$42 x^{2}$

-

$525 x$

Passaggio 6.14

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 21 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

-

$21 x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

-

$21 x^{3}$

-

$42 x^{2}$

-

$525 x$

Passaggio 6.15

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

-

$21 x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

-

$21 x^{3}$

-

$42 x^{2}$

-

$525 x$

-

$21 x^{3}$

+

$0$

-

$525 x$

Passaggio 6.16

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 21 x^{3} + 0 - 525 x$

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

-

$21 x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

-

$21 x^{3}$

-

$42 x^{2}$

-

$525 x$

+

$21 x^{3}$

-

$0$

+

$525 x$

Passaggio 6.17

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x^{3}$

+

$6 x^{2}$

-

$21 x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$25$

$3 x^{5}$

+

$6 x^{4}$

+

$54 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$525 x$

-

$1050$

-

$3 x^{5}$

-

$0$

-

$75 x^{3}$

+

$6 x^{4}$

-

$21 x^{3}$

+

$108 x^{2}$

-

$6 x^{4}$

-

$0$

-

$150 x^{2}$

-

$21 x^{3}$

-

$42 x^{2}$

-

$525 x$

+

$21 x^{3}$

-

$0$

+

$525 x$

-

$42 x^{2}$

+

$0$

Passaggio 6.18

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

							$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
						-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
								+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
								-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
										-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
										+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
												-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

Passaggio 6.19

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 42 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
						-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
								+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
								-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
										-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
										+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
												-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

Passaggio 6.20

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

							$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
						-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
								+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
								-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
										-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
										+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
												-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
												-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

Passaggio 6.21

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 42 x^{2} + 0 - 1050$

							$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
						-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
								+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
								-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
										-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
										+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
												-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
												+	$42 x^{2}$	-	$0$	+	$1050$

Passaggio 6.22

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

							$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
						-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
								+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
								-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
										-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
										+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
												-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
												+	$42 x^{2}$	-	$0$	+	$1050$
																	$0$

Passaggio 6.23

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x - 42$

Passaggio 6.24

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

$y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

Passaggio 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$