Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 0, \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (- 2) (2 (- 2) - 1)}{(- 2) - 2} < 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.25$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0.25$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (0.25) (2 (0.25) - 1)}{(0.25) - 2} < 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{142857}$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{2} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{2} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (1) (2 (1) - 1)}{(1) - 2} < 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (4) (2 (4) - 1)}{(4) - 2} < 0$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $28$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $\frac{1}{2} < x < 2$

Passaggio 12