Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = \sqrt{e^{x} x}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{e^{x} x}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x e^{x}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x e^{x} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{x} \geq 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \geq 0$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 2

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $0$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{(0) \cdot e^{0}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $0$ per $e^{0}$ .

$f (0) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 0$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

Il punto finale dell'espressione radicale è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . In questo caso, il punto è $(1, \sqrt{e})$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \sqrt{(1) \cdot e^{1}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $e^{1}$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{e}$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $\sqrt{e}$ .

$y = \sqrt{e}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . In questo caso, il punto è $(2, e \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \sqrt{(2) \cdot e^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.2.1

Riordina $2$ e $e^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{e^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$f (2) = e \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $e \sqrt{2}$ .

$y = e \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(0, 0), (1, 1.65), (2, 3.84)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.65 \\ 2 & 3.84 \end{array}$

Passaggio 5