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Preparazione all'algebra Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.
Passaggio 1.1.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.1.2
Riordina e .
Passaggio 1.2
Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia .
Passaggio 2
Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.
Passaggio 3
Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile rappresenta lo spostamento x dall'origine, rappresenta lo spostamento y dall'origine, .
Passaggio 4
Il centro di un'iperbole segue la forma di . Sostituisci con i valori di e .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.
Passaggio 5.2
Sostituisci i valori di e nella formula.
Passaggio 5.3
Semplifica.
Passaggio 5.3.1
Semplifica l'espressione.
Passaggio 5.3.1.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.3.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.3.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.3.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.3.2.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.3.2.3
e .
Passaggio 5.3.2.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.3.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.4
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 5.3.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.4.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 5.3.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.5
Semplifica l'espressione.
Passaggio 5.3.5.1
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 5.3.5.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.3.5.3
Somma e .
Passaggio 5.3.6
Riscrivi come .
Passaggio 5.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.8
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 5.3.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.8.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.8.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.8.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.3.8.5
Somma e .
Passaggio 5.3.8.6
Riscrivi come .
Passaggio 5.3.8.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.3.8.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.3.8.6.3
e .
Passaggio 5.3.8.6.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.8.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.8.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.8.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.3.9
Semplifica il numeratore.
Passaggio 5.3.9.1
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 5.3.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando a .
Passaggio 6.2
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 6.3
Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo da .
Passaggio 6.4
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 6.5
I vertici di un'iperbole seguono la forma di . Le iperboli hanno due vertici.
Passaggio 7
Passaggio 7.1
Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando a .
Passaggio 7.2
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 7.3
Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo da .
Passaggio 7.4
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 7.5
I fuochi di un'iperbole seguono la forma di . Le iperboli hanno due fuochi.
Passaggio 8
Passaggio 8.1
Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.
Passaggio 8.2
Sostituisci i valori di e all'interno della formula.
Passaggio 8.3
Semplifica.
Passaggio 8.3.1
Semplifica l'espressione.
Passaggio 8.3.1.1
Dividi per .
Passaggio 8.3.1.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 8.3.1.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 8.3.2
Riscrivi come .
Passaggio 8.3.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 8.3.2.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 8.3.2.3
e .
Passaggio 8.3.2.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 8.3.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 8.3.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.4
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 8.3.4.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.4.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 8.3.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.5
Semplifica l'espressione.
Passaggio 8.3.5.1
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 8.3.5.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 8.3.5.3
Somma e .
Passaggio 8.3.6
Riscrivi come .
Passaggio 8.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 8.3.8
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 8.3.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 8.3.8.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.8.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.8.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 8.3.8.5
Somma e .
Passaggio 8.3.8.6
Riscrivi come .
Passaggio 8.3.8.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 8.3.8.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 8.3.8.6.3
e .
Passaggio 8.3.8.6.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 8.3.8.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.8.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.8.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 8.3.9
Semplifica il numeratore.
Passaggio 8.3.9.1
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 8.3.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.
Passaggio 9.2
Sostituisci i valori di e nella formula.
Passaggio 9.3
Semplifica.
Passaggio 9.3.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.3.2
Combina.
Passaggio 9.3.3
Semplifica l'espressione.
Passaggio 9.3.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.3.3
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 9.3.4
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.6
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 9.3.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.6.2
Sposta .
Passaggio 9.3.6.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.6.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.6.5
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 9.3.6.6
Somma e .
Passaggio 9.3.6.7
Riscrivi come .
Passaggio 9.3.6.7.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.3.6.7.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.3.6.7.3
e .
Passaggio 9.3.6.7.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.3.6.7.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.6.7.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.3.6.7.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 9.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.8
Moltiplica .
Passaggio 9.3.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.8.2
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 9.3.8.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.8.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.9
Semplifica il numeratore.
Passaggio 9.3.9.1
Riscrivi come .
Passaggio 9.3.9.1.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.9.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 9.3.9.2
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 9.3.10
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 9.3.10.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.10.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 9.3.10.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.10.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.10.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 10
Gli asintoti seguono la forma perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Somma e .
Passaggio 11.2
e .
Passaggio 12
Passaggio 12.1
Somma e .
Passaggio 12.2
e .
Passaggio 13
Questa iperbole ha due asintoti.
Passaggio 14
Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.
Centro:
Vertici:
Fuochi:
Eccentricità:
Asse focale:
Asintoti: ,
Passaggio 15