Preparazione all'algebra Esempi

Passaggio 1
Trova la forma standard dell'iperbole.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.1.2
Riordina e .
Passaggio 1.2
Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia .
Passaggio 2
Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.
Passaggio 3
Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile rappresenta lo spostamento x dall'origine, rappresenta lo spostamento y dall'origine, .
Passaggio 4
Il centro di un'iperbole segue la forma di . Sostituisci con i valori di e .
Passaggio 5
Trova , la distanza dal centro a un fuoco.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.
Passaggio 5.2
Sostituisci i valori di e nella formula.
Passaggio 5.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.3.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.3.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.3.2.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.3.2.3
e .
Passaggio 5.3.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.3.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.5.1
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 5.3.5.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.3.5.3
Somma e .
Passaggio 5.3.6
Riscrivi come .
Passaggio 5.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.8
Combina e semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.8.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.8.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.8.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.3.8.5
Somma e .
Passaggio 5.3.8.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.8.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.3.8.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.3.8.6.3
e .
Passaggio 5.3.8.6.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.8.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.8.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.8.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.3.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.9.1
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 5.3.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 6
Trova i vertici.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando a .
Passaggio 6.2
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 6.3
Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo da .
Passaggio 6.4
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 6.5
I vertici di un'iperbole seguono la forma di . Le iperboli hanno due vertici.
Passaggio 7
Trova i fuochi.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando a .
Passaggio 7.2
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 7.3
Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo da .
Passaggio 7.4
Sostituisci i valori noti di , e nella formula e semplifica.
Passaggio 7.5
I fuochi di un'iperbole seguono la forma di . Le iperboli hanno due fuochi.
Passaggio 8
Trova l'eccentricità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.1
Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.
Passaggio 8.2
Sostituisci i valori di e all'interno della formula.
Passaggio 8.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1.1
Dividi per .
Passaggio 8.3.1.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 8.3.1.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 8.3.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 8.3.2.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 8.3.2.3
e .
Passaggio 8.3.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 8.3.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.4.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.5.1
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 8.3.5.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 8.3.5.3
Somma e .
Passaggio 8.3.6
Riscrivi come .
Passaggio 8.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 8.3.8
Combina e semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 8.3.8.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.8.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.8.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 8.3.8.5
Somma e .
Passaggio 8.3.8.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.8.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 8.3.8.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 8.3.8.6.3
e .
Passaggio 8.3.8.6.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.8.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.8.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.8.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 8.3.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.9.1
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 8.3.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 9
Trova l'asse focale.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.
Passaggio 9.2
Sostituisci i valori di e nella formula.
Passaggio 9.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.3.2
Combina.
Passaggio 9.3.3
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.3.3
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 9.3.4
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.6
Combina e semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.6.2
Sposta .
Passaggio 9.3.6.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.6.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.6.5
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 9.3.6.6
Somma e .
Passaggio 9.3.6.7
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.6.7.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.3.6.7.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.3.6.7.3
e .
Passaggio 9.3.6.7.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.6.7.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.6.7.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.3.6.7.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 9.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.8
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.8.2
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 9.3.8.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.8.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.9.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.9.1.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.9.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 9.3.9.2
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 9.3.10
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.10.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.10.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.10.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.10.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.10.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 10
Gli asintoti seguono la forma perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.
Passaggio 11
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Somma e .
Passaggio 11.2
e .
Passaggio 12
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.1
Somma e .
Passaggio 12.2
e .
Passaggio 13
Questa iperbole ha due asintoti.
Passaggio 14
Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.
Centro:
Vertici:
Fuochi:
Eccentricità:
Asse focale:
Asintoti: ,
Passaggio 15