Preparazione all'algebra Esempi

$y = 2 + | 4 x - 5 | - x$

Passaggio 1

Semplifica $2 + | 4 x - 5 | - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta $| 4 x - 5 |$ .

$y = 2 - x + | 4 x - 5 |$

Passaggio 1.2

Riordina $2$ e $- x$ .

$y = - x + 2 + | 4 x - 5 |$

Passaggio 2

Trova il vertice del valore assoluto. In questo caso, il vertice di $y = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ è $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare la coordinata $x$ del vertice, imposta l'interno del valore assoluto $4 x - 5$ in modo che sia uguale a $0$ . In questo caso, $4 x - 5 = 0$ .

$4 x - 5 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione $4 x - 5 = 0$ per trovare la coordinata $x$ per il vertice del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 5$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{4}$ nell'espressione.

$y = - (\frac{5}{4}) + 2 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Passaggio 2.4

Semplifica $- (\frac{5}{4}) + 2 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2}{1} + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Passaggio 2.4.1.3

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Passaggio 2.4.1.4

Scrivi $| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1}$

Passaggio 2.4.1.5

Moltiplica $\frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.4.1.6

Moltiplica $\frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 5 + 2 \cdot 4 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 5 + 8 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 5 + 8 + | 5 - 5 | \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.3.3

Sottrai $5$ da $5$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + | 0 | \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.3.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + 0 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.4.3.5

Moltiplica $0$ per $4$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + 0}{4}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $- 5$ e $8$ .

$y = \frac{3 + 0}{4}$

Passaggio 2.4.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4}$

Passaggio 2.5

Il vertice del valore assoluto è $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ .

$(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Per ogni valore $x$ c'è un valore $y$ . Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del vertice del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - (- 1) + 2 + | 4 (- 1) - 5 |$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + | 4 (- 1) - 5 |$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + | - 4 - 5 |$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sottrai $5$ da $- 4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + | - 9 |$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 9$ e $0$ è $9$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + 9$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = 3 + 9$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $3$ e $9$ .

$f (- 1) = 12$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $12$ .

$y = 12$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . In questo caso, il punto è $(0, 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - (0) + 2 + | 4 (0) - 5 |$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 2 + | 4 (0) - 5 |$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 2 + | 0 - 5 |$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (0) = 0 + 2 + | - 5 |$

Passaggio 4.2.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 5$ e $0$ è $5$ .

$f (0) = 0 + 2 + 5$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2 + 5$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $2$ e $5$ .

$f (0) = 7$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . In questo caso, il punto è $(1, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - (1) + 2 + | 4 (1) - 5 |$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 + | 4 (1) - 5 |$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 + | 4 - 5 |$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sottrai $5$ da $4$ .

$f (1) = - 1 + 2 + | - 1 |$

Passaggio 4.3.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 + 1$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (1) = 1 + 1$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . In questo caso, il punto è $(2, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - (2) + 2 + | 4 (2) - 5 |$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = - 2 + 2 + | 4 (2) - 5 |$

Passaggio 4.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (2) = - 2 + 2 + | 8 - 5 |$

Passaggio 4.4.2.1.3

Sottrai $5$ da $8$ .

$f (2) = - 2 + 2 + | 3 |$

Passaggio 4.4.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$f (2) = - 2 + 2 + 3$

Passaggio 4.4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (2) = 0 + 3$

Passaggio 4.4.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 4.4.2.3

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 4.5

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4}), (- 1, 12), (0, 7), (1, 2), (2, 3)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 12 \\ 0 & 7 \\ 1 & 2 \\ \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 5