Preparazione all'algebra Esempi

$y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per qualsiasi $y = \csc (x)$ , gli asintoti verticali si verificano con $x = n π$ , dove $n$ è numero intero. Utilizza il periodo di base per $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , per trovare gli asintoti verticali per $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ . Imposta l'interno della funzione cosecante, $b x + c$ , per $y = a \csc (b x + c) + d$ uguale a $0$ per trovare dove gli asintoti verticali si verificano per $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ .

$3 x - \frac{π}{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.3

Imposta l'interno della funzione cosecante $3 x - \frac{π}{2}$ pari a $2 π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = 2 π$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2 π + \frac{π}{2}$

Passaggio 1.4.1.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 1.4.1.3

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 1.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 1.4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x = \frac{4 π + π}{2}$

Passaggio 1.4.1.5.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$3 x = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 1.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 1.4.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.4.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 1.5

Il periodo di base per $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ si verificherà a $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ , dove $\frac{π}{6}$ e $\frac{5 π}{6}$ sono asintoti verticali.

$(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$

Passaggio 1.6

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 1.7

Si hanno asintoti verticali di $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ con $\frac{π}{6}$ , $\frac{5 π}{6}$ e con ogni $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , dove $n$ è un intero. Questo è mezzo periodo.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

Passaggio 1.8

La cosecante ha solo asintoti verticali.

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ dove $n$ è un intero

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ dove $n$ è un intero

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \csc (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 5$

$b = 3$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 0$

Passaggio 3

Poiché il grafico della funzione $c s c$ non ha un valore massimo o minimo, non possono esserci dei valori per l'ampiezza.

Ampiezza: nessuna

Passaggio 4

Trova il periodo di $5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 4.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 4.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

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Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

Sfasamento: $\frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

Sfasamento: $\frac{π}{6}$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: nessuna

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Asintoti verticali: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ dove $n$ è un intero

Ampiezza: nessuna

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 8