Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ come un'equazione.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ .

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Passaggio 2.1

Dividi la frazione $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ in due frazioni.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $23 x^{2}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $- 104 x$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $x$ da $x (- x^{2}) + x (23 x)$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Passaggio 2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} - \frac{308}{x - 11}$

Passaggio 3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104) - 308}{x - 11}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.2.3

Sposta $- 104$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2} x) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{- (x^{2} x^{1}) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{- x^{2 + 1} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 (x \cdot x) - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

$q = \pm 1$

Passaggio 4.4.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

Passaggio 4.4.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.4.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

$- {(- 2)}^{3} + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- - 8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$8 + 23 \cdot 4 - 104 \cdot - 2 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.5

Moltiplica $23$ per $4$ .

$8 + 92 - 104 \cdot - 2 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.6

Somma $8$ e $92$ .

$100 - 104 \cdot - 2 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.7

Moltiplica $- 104$ per $- 2$ .

$100 + 208 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.8

Somma $100$ e $208$ .

$308 - 308$

Passaggio 4.4.1.3.9

Sottrai $308$ da $308$ .

$0$

Passaggio 4.4.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x + 2}$

Passaggio 4.4.1.5

Dividi $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ per $x + 2$ .

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Passaggio 4.4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$104 x$

$308$

Passaggio 4.4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$

Passaggio 4.4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 4.4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 4.4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$

Passaggio 4.4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Passaggio 4.4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $25 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Passaggio 4.4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					+	$25 x^{2}$	+	$50 x$

Passaggio 4.4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $25 x^{2} + 50 x$

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$

Passaggio 4.4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$

Passaggio 4.4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Passaggio 4.4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 154 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Passaggio 4.4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							-	$154 x$	-	$308$

Passaggio 4.4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 154 x - 308$

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$

Passaggio 4.4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$
										$0$

Passaggio 4.4.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + 25 x - 154$

Passaggio 4.4.1.6

Scrivi $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ come insieme di fattori.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 x - 154)}{x - 11}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 154 = 154$ e la cui somma è $b = 25$ .

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Passaggio 4.4.2.1.1

Scomponi $25$ da $25 x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 (x) - 154)}{x - 11}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Riscrivi $25$ come $11$ più $14$ .

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + (11 + 14) x - 154)}{x - 11}$

Passaggio 4.4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 11 x + 14 x - 154)}{x - 11}$

Passaggio 4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{(x + 2) ((- x^{2} + 11 x) + 14 x - 154)}{x - 11}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{(x + 2) (x (- x + 11) - 14 (- x + 11))}{x - 11}$

Passaggio 4.4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 11$ .

$y = \frac{(x + 2) ((- x + 11) (x - 14))}{x - 11}$

$y = \frac{(x + 2) (- x + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $- x + 11$ e $x - 11$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $11$ come $- 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) - 1 (- 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Passaggio 5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $- (x - 11)$ come $- 1 (x - 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Passaggio 5.6

Dividi $((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$ per $1$ .

$y = ((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$y = (x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Passaggio 7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y = (- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = (- 1 \cdot x - 2) (x - 14)$

Passaggio 9

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = (- x - 2) (x - 14)$

Passaggio 10

Espandi $(- x - 2) (x - 14)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - x (x - 14) - 2 (x - 14)$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 (x - 14)$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Passaggio 11

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1.1.1

Sposta $x$ .

$y = - (x \cdot x) - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Passaggio 11.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = - x^{2} - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- 14$ per $- 1$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x - 2 \cdot - 14$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 14$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x + 28$

Passaggio 11.2

Sottrai $2 x$ da $14 x$ .

$y = - x^{2} + 12 x + 28$

Passaggio 12

Quando si risolve per $y$ , $y$ non varia direttamente con $x^{2}$ .

$y$ non varia direttamente al variare di $x^{2}$