Preparazione all'algebra Esempi

$36 x^{2} + 81 y^{2} + 504 x - 324 y - 828 = 0$

Passaggio 1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori $a = 81$ , $b = - 324$ e $c = 36 x^{2} + 504 x - 828$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{324 \pm \sqrt{{(- 324)}^{2} - 4 \cdot (81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $- 324$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $81$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $36$ per $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $504$ per $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.4.3

Moltiplica $- 324$ per $- 828$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.5

Somma $104976$ e $268272$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $11664$ da $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1.1

Scomponi $11664$ da $- 11664 x^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.1.2

Scomponi $11664$ da $- 163296 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.1.3

Scomponi $11664$ da $373248$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.1.4

Scomponi $11664$ da $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.1.5

Scomponi $11664$ da $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ e la cui somma è $b = - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.1.1

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 14$ come $2$ più $- 16$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.7

Riscrivi $11664 (- x + 2) (x + 16)$ come $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1

Riscrivi $11664$ come $108^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.7.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.1.9

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $81$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $- 324$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $81$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $36$ per $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $504$ per $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 324$ per $- 828$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.5

Somma $104976$ e $268272$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $11664$ da $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Scomponi $11664$ da $- 11664 x^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Scomponi $11664$ da $- 163296 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.1.3

Scomponi $11664$ da $373248$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.1.4

Scomponi $11664$ da $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.1.5

Scomponi $11664$ da $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ e la cui somma è $b = - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1.1

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 14$ come $2$ più $- 16$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $11664 (- x + 2) (x + 16)$ come $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Riscrivi $11664$ come $108^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.7.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.1.9

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $81$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 4.5

Scomponi $2$ da $6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y = \frac{2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 4.5.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $- 324$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $81$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $36$ per $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $504$ per $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $- 324$ per $- 828$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.5

Somma $104976$ e $268272$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Scomponi $11664$ da $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Scomponi $11664$ da $- 11664 x^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Scomponi $11664$ da $- 163296 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.1.3

Scomponi $11664$ da $373248$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.1.4

Scomponi $11664$ da $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.1.5

Scomponi $11664$ da $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ e la cui somma è $b = - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1.1

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 14$ come $2$ più $- 16$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi $11664 (- x + 2) (x + 16)$ come $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Riscrivi $11664$ come $108^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.7.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.1.9

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $81$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 5.5

Scomponi $2$ da $6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y = \frac{2 (3) - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

$y = \frac{2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $2$ da $2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})$ .

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Passaggio 7

L'equazione data $y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}, \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$ non può essere scritta come $y = k x^{2}$ ; pertanto, $y$ non varia direttamente con $x^{2}$ .

$y$ non varia direttamente al variare di $x$